Combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal

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1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

Les nombres ci-dessus, disposés géométriquement en triangle vous rappellent probablement quelques choses…

Ils s’agit des coefficients binomiaux que l’on obtient en développement des expressions du genre (a+b)2=1a2+2ab+1b2

Dans cet disposition géométrique chacun des nombres s’obtient en ajoutant le nombre du dessus et son voisin de gauche.

Ces nombres nous les avons déjà évoqués ici, il s’agit des C(n,p) qui servent à dénombrer le nombres de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.

(Par exemple on a vu dans ce billet que C(52,5)=2 598 960 nous donne le nombres de mains au poker)

cnp

On démontre aisément que C(n,p) = C (n-1,p-1) + C (n-1, p), et on peut utiliser cette formule pour se créer une fonction en Python pour calculer de façon récursive les C(n,p)

def cnp2 (n,p):
if p==0 or n==p:
return 1
exit
return cnp2(n-1,p-1)+cnp2(n-1,p)

Pour aller plus loin :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial

Ressources :

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