Mathématiques pour les nuls : Dénombrement et factorielle

Les Mathématiques sont une passion et mon métier. Il m’arrive d’en parler à des personnes étrangères à leur magie et étrangement, souvent elles sont captivées.

Pourtant la majorité d’entre elles souffrait (silencieusement) d’ennui en cours de Math, pendant leur scolarité.

Faire partager sa passion est un privilège, et j’ai décidé d’aborder de temps en temps des problématiques mathématiques ici en espérant simplement vous donner du plaisir ou vous réconcilier avec la beauté des mathématiques.

Certes beaucoup n’en verront pas l’utilité… Mais les implications dans la vie sans nombreuses (jeux, bricolage… ) et la mode n’est-elle pas un peu au « brain-training? »

Commençons par un problème simple :

Je dispose de 3 lettres A, B, et C pour écrire des mots de 3 lettres différentes (Sans répéter la même lettre)
Le mot « mots » désignant des suites de 3 lettres mais qui ne veulent bien entendu rien dire!

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • et…

Ce problème est simple car il est aisé d’écrire tous ces mots, en ayant un peu de méthode (en pourrait parler d’algorithme)

Pour ne pas en oublier, il suffit de les écrire dans un certain ordre (ABC par exemple) et d’essayer de modifier ce mot en ne touchant qu’à la lettre la plus à droite possible et en la remplaçant par la suivante dans l’ordre ABC :

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

Nous avons la réponse au problème, il y a 6 mots possibles.

Compliquons !

Je dispose maintenant de 5 lettres ABCDE, et je me pose la même question, combien de mots de 5 lettres différentes puis-je construire ?

La même technique fonctionne encore, mais elle devient laborieuse. Passons en mode « analyse » :
Nous avons évidemment 5 possibilités pour la première lettre (A, B, C, D ou E)

Si nous choisissons A comme première lettre il reste 4 possibilités (B, C, D, E) comme deuxième lettre.
Si nous choisissons B comme première lettre il reste 4 possibilités (A, C, D, E) comme deuxième lettre.

ARBRE1

Comptons les branches de cet arbuste naissant :

Il y en a 5×4=20.

Mais l’arbre continue de grandir et à l’étape suivante chaque bourgeon va donner 3 branches :

ARBRE2

Comptons les branches de cet arbuste adolescent :

Il y en a 5x4x3=60.

A l’étape suivant deux branches apparaîtront sur chaque bourgeons et il y aura :
5x4x3x2 = 120 branches.

La dernière étape est un peu spéciale, puisqu’il ne reste qu’une lettre à ajouter au bout de chaque « branche », et le nombre de branches ne changera pas. (On peut considérer qu’on multiplie par 1)

Conclusion :

Le nombre de mots de 5 lettres différentes est 5x4x3x2x1= 120.

Ce nombre est noté 5! (5 suivi d’un point d’exclamation) et se lit 5 factorielle.


Prolongement informatique

La fonction factorielle est souvent donnée en exemple de programmation récursive : Une fonction récursive est une fonction qui s’appelle elle-même.

En effet si on a calculé 5! = 120 et que l’on veut calculer 6!

On a 6! = 6x5x4x3x2x1 = 6 x 5! =6 x 120 = 720

En javascript cela donnerait :

function factorielle(n)
{
if (n<0) {
return « ### Erreur de domaine ### »;
}
else {
if (n == 0) {
return 1;
}
else {
return n * factorielle (n-1);
}
}
}

Quand on appelle factorielle(n) la fonction renvoie n x factorielle(n-1), elle doit donc s’appeler elle-même jusqu’à appeler factorielle 0 qui est 1 par convention.


Exemple :

Calcul de n! :

Remarque :

  • A noter que si vous entrez autre chose qu’un nombre la fonction factorielle() s’appelle ad vitam aeternam et le javascript plante.

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L’homme à l’origine du pagerank aurait 115 ans aujourd’hui!

Il est né le 3 février 1893 en Algérie. Ce mathématicien français, polytechniciens, passionné de musique, est gravement blessé en 1915, et finit son existence caché derrière une prothèse de nez en cuir.

gaston

En 1918, âgé de 25 ans, il publie son mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles. Ses travaux reçurent le grand prix de l’Académie des Sciences. Il est considéré par Google comme étant, par ses travaux, à l’origine du pagerank. (Pour ceux qui ont fait des mathématiques leur passion, Les « ensembles de Julia », lui font référence)

Gaston Maurice Julia aurait 115 ans aujourd’hui, et la connaissance de ce personnage hors du commun humanise un peu cet outil glacial qu’est le pagerank.

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Les mathématiques sont jolies!


Floral 5, originally uploaded by SoniaGlez.

On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé. Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals.

Je vous propose une balade dans l’univers mathématico-artistiques des fractales :
http://www.fractalartcontests.com/2007/winners.php

Jolies, non ?

Fête des maths et des jeux!

Les mathématiques, c’est fantastique ! Le Forum départemental des Sciences propose un rendez-vous pour s’amuser avec les maths.
Pour participer, pas besoin d’être surdoué ! Il y en aura pour tous et partout. Enigmes mathématiques et puzzles géants, jeux de miroirs, origami, conférences décalées…

En savoir plus

Film : Pi de Darren Aronofsky

Ce premier film impressionnant démontre que le film d’avant-garde n’est pas encore mort. Étrange fusion entre le classique Eraserhead de David Lynch, et la science-fiction des années 50, avec une touche de mysticisme religieux, le film de Darren Aronofsky peint le portrait de la paranoïa urbaine, au rythme techno.

Newton devancé par les mathématiciens Hindous ?

Doyle Flushing
Creative Commons License photo credit: fdecomite

Rendons à Cesar, ce qui est à Cesar…

Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l’algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu’ils ont une priorité équivalente. Cependant l’approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Actualité > Newton devancé par les mathématiciens Hindous ?:

« On attribue généralement à Newton et à Leibniz la découverte de ce qui est probablement le plus puissant outil mathématique à la disposition de l’esprit humain : le calcul différentiel et intégral. Comme le montre George Gheverghese Joseph de l’University of Manchester, certains des résultats obtenus à l’aide de l’analyse infinitésimale à partir de la fin du 17ième siècle en Europe, étaient déjà connus des mathématiciens de l’école du Kerala, au sud-ouest de l’Inde, vers 1 400. Selon lui, on ne peut d’ailleurs pas écarter la possibilité qu’une partie de l’inspiration de Leibniz et Newton ne provienne de la transmission des travaux de Madhava et Nilakantha en Occident par les jésuites. »

les performances des mathématiciens de l’école du Kerala sont spectaculaires et méritent à juste titre d’être universellement reconnues. Incontestablement, leurs noms doivent maintenant figurer au panthéon des grands mathématiciens de l’humanité avec Archimède et Al-Khwarizmi.

LIENS EXTERNES:

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Conseil de rentrée : Attention aux premiers prix !

Attention aux premiers prix !

De l’agenda à la trousse en passant par les feutres et les cartouches, les articles
« premier prix » (Ex : Eco+, Coup de pouce, n°1, Top Budget …) sont très présents en
hypermarchés à des prix souvent dérisoires pour faire face à l’assaut du hard
discount. Si l’on peut être tenté d’acheter ces articles « premier prix » en raison de
l’économie apparente qu’ils permettent, qu’en est-il du service rendu ?

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Enigmes Mathématiques

Vous aimez les énigmes ? On vient d’en poster une jolie sur Wouf Forum:

L’énigme se passe dans un monastère très strict ou vivent 40 moines. Ces moines ont pour seule vocation la prière et il ne doivent absolument pas communiquer entre eux, ni par geste, encore moins par la parole. Ils ne peuvent meme pas se regarder dans un miroir. Chaque jour, le père supérieur, qui est le seul à pouvoir parler, réunis les moines dans la salle de réunion pour les informer des nouvelles du jour.
Une maladie très dangereuse et peut etre contagieuse vient d’arriver chez les moines, elle se caractérise par la présence de petites plaques rouges sur le visage, bien visibles mais non douloureuses. Elle ne provoque pas d’autres symptomes au début. Chaque moine ne peut donc pas savoir s’il est malade.
Le père supérieur décide de prévenir les moines. Lors de la réunion quotidienne, il les informe donc que cette maladie est dangereuse, et il demande qu’à la fin de chaque réunion, quand il le demandera, tous ceux qui se savent malades préparent leur valises et partent du monastère.
A la fin de cette réunion, le père supérieur demande: « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ». Mais personne ne se lève.
Le lendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ». Mais personne ne se lève.
Le surlendemain, à la fin de la réunion, le père supérieur demande: « Que tous ceux qui se savent malades se lèvent et s’en aillent ». A ce moment là, tous les moines qui sont malades se lèvent et s’en vont. Combien sont ils?

La réponse ?

Non !

A propos d’énigme:

Lewis Carroll (de son vrai nom Charles Lutwidge Dodgson) est un écrivain, photographe et mathématicien britannique né le 27 janvier 1832 à Daresbury, dans le Lancashire et mort le 14 janvier 1898 à Guildford.
Vous le connaissez gràce à Alice au pays des merveilles mais il a aussi rédigé de belles enigmes:

Ce personnage est étonnant est mérite qu’on s’y attarde un peu:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lewis_Carol

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Musique et math

CULTURE > Musique

Empty Chairs in Stade de France
Creative Commons License photo credit: >WouteR<

>15h57>

Les 79.000 billets pour le concert de Police le 29 septembre au Stade de France vendus en une heure trente.

Je viens de lire ça sur le fil RSS de TF1, waouh!

Pas mal, les petits jeunes…

Question 1:

Combien de billets furent vendus en moyenne par seconde?

Question 2:

(attention au piège)

Combien y-a-t-il de guichets?