UN NOMBRE ET SON CARRÉ
Le nombre 567 possède une propriété assez particulière. En effet, pour l’écrire en compagnie de son carré 321 489, il est nécessaire d’utiliser tous les chiffres de 1 à 9 ; et chacun d’eux, une fois et une seule.
Un autre nombre jouit de cette propriété. Lequel ?
Historique
J’ai retrouvé cette jolie énigme dans Jeux et Stratégie n°9 de Juin 1981. Je me souviens avoir développé (un peu plus tard) sur TO7 un petit programme en basic pour découvrir l’autre nombre…
J’ai toujours eu une tendresse particulière pour la revue Jeux et Stratégie. J’y retrouvais un esprit rare, à la fois intelligent, curieux et ludique, qui donnait envie de réfléchir autant que de jouer. On y croisait les échecs, bien sûr, mais aussi une foule d’autres jeux, des énigmes, des mathématiques, des idées de développement et cette manière unique de faire dialoguer plaisir, logique et culture. Même les jeux en encart avaient quelque chose de magique : ils prolongeaient la lecture, invitaient à manipuler, tester, chercher, recommencer. Cette revue ne se contentait pas de divertir : elle ouvrait des portes, stimulait l’imagination et montrait qu’on pouvait apprendre énormément en jouant sérieusement.
Plus de 40 ans plus tard, avec Python, ce n’est que quelques lignes :
i = 0
while len(str(i)) + len(str(i * i)) < 10:
i += 1
chiffres_i = set(str(i))
chiffres_carre = set(str(i * i))
tous_les_chiffres = chiffres_i.union(chiffres_carre)
if tous_les_chiffres == set("123456789"):
print(i, i * i)
En testant ce code dans le bac à sable Python du site2wouf.fr vous obtenez :
L’autre nombre est 854
Pour les débutants :
Ce petit programme Python cherche un nombre entier particulier. On teste les nombres un par un, en partant de 1, puis 2, puis 3, etc. Pour chaque nombre i, on calcule son carré i * i, puis on regarde les chiffres présents dans i et dans son carré. Le but est de trouver un cas où l’ensemble des chiffres obtenus correspond exactement aux chiffres de 1 à 9.
La première ligne, i = 0, sert simplement à initialiser (donner une valeur de départ à) la variable (zone de mémoire qui stocke une valeur). En Python, le signe = sert à affecter (attribuer) une valeur à une variable. Ici, on donne la valeur 0 à i. Il ne faut pas confondre avec ==, qui sert à tester une égalité (vérifier si deux valeurs sont égales). Par exemple, i = 5 signifie « on met 5 dans la variable i », tandis que i == 5 signifie « on vérifie si i vaut 5 ».
Ensuite, la boucle while (tant que) permet de répéter les instructions tant qu’une condition (règle à vérifier) est vraie. Ici, la condition est len(str(i)) + len(str(i * i)) < 10. Cela signifie qu’on continue tant que le nombre total de chiffres de i et de son carré reste inférieur à 10. La fonction (outil qui effectue une tâche) str() (string, c’est-à-dire chaîne de caractères / texte) transforme un nombre en texte, ce qui permet ensuite à len() (length, longueur) de compter son nombre de caractères, donc ici son nombre de chiffres.
À l’intérieur de la boucle, on écrit i += 1, ce qui revient à écrire i = i + 1. On augmente donc i de 1 à chaque tour pour tester successivement tous les entiers.
La condition importante se trouve dans le if (si). On utilise set(str(i)) pour récupérer les chiffres de i sous forme d’ensemble (collection sans doublons), puis set(str(i * i)) pour faire la même chose avec le carré. Un ensemble, en Python, est une collection d’éléments sans doublons. Ainsi, si un chiffre apparaît plusieurs fois, il n’est conservé qu’une seule fois dans l’ensemble.
La méthode (action que l’on applique à un objet) .union() (union, réunion) sert justement à réunir deux ensembles. Par exemple, l’union de {'1', '2'} et {'2', '4'} donne {'1', '2', '4'}. Dans ce programme, .union() permet donc de regrouper tous les chiffres présents dans i et dans i * i.
Enfin, on compare ce résultat à set("123456789"). Le signe == sert ici à vérifier si les deux ensembles sont égaux. Si c’est le cas, cela signifie que les chiffres de i et de son carré, réunis ensemble, forment exactement les chiffres de 1 à 9. Le programme affiche alors i et son carré avec print() (afficher à l’écran).