RASOIR est une anagramme de ROSIRA, mais combien RASOIR a-t-il d’anagrammes ?

ROSIRA

Le problème est moins simple que les précédents et la réponse (évidente) 6!=720 est erronée à cause du double R.

R1ASOIR2 est le même mot que R2ASOIR1

On a donc compté deux fois trop de mots!

La réponse est donc 6!/2=360 anagrammes pour le mot RASOIR…

Plus dur: ANANAS ne me semble pas avoir d’anagrammes au sens littéraire, mais combien en a-t-il au sens mathématique ?

Mathématiques pour les nuls : Dénombrement et factorielles (4)

 

Nous avons découvert dans de précédents billets que le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n! (factorielle n):

n!=1x2x3x…(n-1)xn

Parlons d’anagrammes :

 

anagrammes

Il est des anagrammes amusantes :
CHIEN est une anagramme de NICHE
POLICE est une anagramme de PICOLE

Si on compte également les mots qui ne veulent rien dire, combien CHIEN et POLICE ont-ils d’anagrammes ?

Pour CHIEN :
On peut permuter les 5 lettres de 5! façons différente, il y a donc 5!=120 anagrammes différentes.

Pour POLICE : 6!=720 anagrammes.

Tout ceci est très simple. Trop simple ?

RASOIR est une anagramme de ROSIRA, mais combien RASOIR a-t-il d’anagrammes ?
Voyez-vous pourquoi le problème est différent ?

 

Mathématiques pour les nuls : Dénombrement et factorielles (3)

  • Arthur, Barnabé, Charlie, et Diego s’apprêtent à faire un poker et s’installent sur quatre chaises autour d’une table ronde. Combien de positions possibles ?

La réponse ne sera pas la même si on pose la question à Arthur, ou à … la table… Pourquoi ?

Un physicien dirait que cela dépend du référentiel, celui-ci pouvant être la table, ou un joueur…

Le point de vue de la table


Par lionel.armanet © Tous droits réservés

Pour cette table, les 4 chaises pourrait être numérotées de 1 à 4, et le problème ressemble à ceux déjà abordés :

La réponse est donc évidente, il y a 4!=24 possibilités de tables différentes…

Le point de vue d’Arthur (ou d’un autre joueur, c’est pareil)


par Johnny Blood, © Tous droits réservés

Pour Arthur qui est assis tranquillement sur sa chaise, il voit trois places restées libres, à gauche, en face et à droite, qu’il pourrait numéroter de 1 à 3:

Il y a donc 3!=6 tables différentes, plus exactement 6 façons de placer les joueurs les uns par rapport aux autres…

Une autre façon de voir le problème

Un joueur donné dispose de quatre places (Nord, Est, Sud, Ouest), Sur les 24 tables possibles, 24/4=6 tables seront réellement différentes quant à la position relatives des joueurs…


LIEN EXTERNE :

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Mathématiques pour les nuls : Dénombrement et factorielles (2)

Dans ce précédent billet nous avons découvert la factorielle :

la factorielle du nombre n, noté n! est égale à :

n!=nx(n-1)x(n-2)…3x2x1

Ainsi 3!=6 ; 4!=24 …

Nous avons vu que le nombre de mots que l’on peut écrire avec n lettres est exactement n! (Mathématiquement, on dira que n! est le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments)

Cette situation simple peut maintenant être considérée comme un modèle. C’est à dire qu’on pourra dénombrer des objets avec cette factorielle, si la situation concrète est similaire à celle-ci…

La difficulté sera de savoir si oui, ou non, on a affaire à une situation similaire !

Situation 1 :

Maman, papa et bébé Lili sont assis sur un banc, pour se faire prendre en photo. Si on ne tient compte que de leurs places, combien de photos différentes pourra-t-on prendre ?

Ce problème est bien similaire à “combien de mots constitués de 3 lettres différentes peut-on écrire ?” :

MPB

MBP


La réponse est donc immédiate : 3! = 6.

On peut faire 6 photos différentes.

Situation 2 :

roiwouf

Arthur, Barnabé, Charlie, et Diego s’apprêtent à faire un poker et s’installent sur quatre chaises autour d’une table ronde. Combien de positions possibles ?

La réponse ne sera pas la même si on pose la question à Arthur, ou à … la table… Pourquoi ?

Je vous laisse réfléchir quelques jours !

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Mathématiques pour les nuls : Dénombrement et factorielle

Les Mathématiques sont une passion et mon métier. Il m’arrive d’en parler à des personnes étrangères à leur magie et étrangement, souvent elles sont captivées.

Pourtant la majorité d’entre elles souffrait (silencieusement) d’ennui en cours de Math, pendant leur scolarité.

Faire partager sa passion est un privilège, et j’ai décidé d’aborder de temps en temps des problématiques mathématiques ici en espérant simplement vous donner du plaisir ou vous réconcilier avec la beauté des mathématiques.

Certes beaucoup n’en verront pas l’utilité… Mais les implications dans la vie sans nombreuses (jeux, bricolage… ) et la mode n’est-elle pas un peu au “brain-training?”

Commençons par un problème simple :

Je dispose de 3 lettres A, B, et C pour écrire des mots de 3 lettres différentes (Sans répéter la même lettre)
Le mot “mots” désignant des suites de 3 lettres mais qui ne veulent bien entendu rien dire!

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • et…

Ce problème est simple car il est aisé d’écrire tous ces mots, en ayant un peu de méthode (en pourrait parler d’algorithme)

Pour ne pas en oublier, il suffit de les écrire dans un certain ordre (ABC par exemple) et d’essayer de modifier ce mot en ne touchant qu’à la lettre la plus à droite possible et en la remplaçant par la suivante dans l’ordre ABC :

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

Nous avons la réponse au problème, il y a 6 mots possibles.

Compliquons !

Je dispose maintenant de 5 lettres ABCDE, et je me pose la même question, combien de mots de 5 lettres différentes puis-je construire ?

La même technique fonctionne encore, mais elle devient laborieuse. Passons en mode “analyse” :
Nous avons évidemment 5 possibilités pour la première lettre (A, B, C, D ou E)

Si nous choisissons A comme première lettre il reste 4 possibilités (B, C, D, E) comme deuxième lettre.
Si nous choisissons B comme première lettre il reste 4 possibilités (A, C, D, E) comme deuxième lettre.

ARBRE1

Comptons les branches de cet arbuste naissant :

Il y en a 5×4=20.

Mais l’arbre continue de grandir et à l’étape suivante chaque bourgeon va donner 3 branches :

ARBRE2

Comptons les branches de cet arbuste adolescent :

Il y en a 5x4x3=60.

A l’étape suivant deux branches apparaîtront sur chaque bourgeons et il y aura :
5x4x3x2 = 120 branches.

La dernière étape est un peu spéciale, puisqu’il ne reste qu’une lettre à ajouter au bout de chaque “branche”, et le nombre de branches ne changera pas. (On peut considérer qu’on multiplie par 1)

Conclusion :

Le nombre de mots de 5 lettres différentes est 5x4x3x2x1= 120.

Ce nombre est noté 5! (5 suivi d’un point d’exclamation) et se lit 5 factorielle.


Prolongement informatique

La fonction factorielle est souvent donnée en exemple de programmation récursive : Une fonction récursive est une fonction qui s’appelle elle-même.

En effet si on a calculé 5! = 120 et que l’on veut calculer 6!

On a 6! = 6x5x4x3x2x1 = 6 x 5! =6 x 120 = 720

En javascript cela donnerait :

function factorielle(n)
{
if (n<0) {
return “### Erreur de domaine ###”;
}
else {
if (n == 0) {
return 1;
}
else {
return n * factorielle (n-1);
}
}
}

Quand on appelle factorielle(n) la fonction renvoie n x factorielle(n-1), elle doit donc s’appeler elle-même jusqu’à appeler factorielle 0 qui est 1 par convention.

  • A noter que si vous entrez autre chose qu’un nombre la fonction factorielle() s’appelle ad vitam aeternam et le javascript plante.

L’homme à l’origine du pagerank aurait 115 ans aujourd’hui!

Il est né le 3 février 1893 en Algérie. Ce mathématicien français, polytechniciens, passionné de musique, est gravement blessé en 1915, et finit son existence caché derrière une prothèse de nez en cuir.

gaston

En 1918, âgé de 25 ans, il publie son mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles. Ses travaux reçurent le grand prix de l’Académie des Sciences. Il est considéré par Google comme étant, par ses travaux, à l’origine du pagerank. (Pour ceux qui ont fait des mathématiques leur passion, Les “ensembles de Julia”, lui font référence)

Gaston Maurice Julia aurait 115 ans aujourd’hui, et la connaissance de ce personnage hors du commun humanise un peu cet outil glacial qu’est le pagerank.

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Les mathématiques sont jolies!


Floral 5, originally uploaded by SoniaGlez.

On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé. Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals.

Je vous propose une balade dans l’univers mathématico-artistiques des fractales :
http://www.fractalartcontests.com/2007/winners.php

Jolies, non ?

Fête des maths et des jeux!

Les mathématiques, c’est fantastique ! Le Forum départemental des Sciences propose un rendez-vous pour s’amuser avec les maths.
Pour participer, pas besoin d’être surdoué ! Il y en aura pour tous et partout. Enigmes mathématiques et puzzles géants, jeux de miroirs, origami, conférences décalées…

En savoir plus

Film : Pi de Darren Aronofsky

Ce premier film impressionnant démontre que le film d’avant-garde n’est pas encore mort. Étrange fusion entre le classique Eraserhead de David Lynch, et la science-fiction des années 50, avec une touche de mysticisme religieux, le film de Darren Aronofsky peint le portrait de la paranoïa urbaine, au rythme techno.

Newton devancé par les mathématiciens Hindous ?

Doyle Flushing
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Rendons à Cesar, ce qui est à Cesar…

Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l’algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu’ils ont une priorité équivalente. Cependant l’approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Actualité > Newton devancé par les mathématiciens Hindous ?:

“On attribue généralement à Newton et à Leibniz la découverte de ce qui est probablement le plus puissant outil mathématique à la disposition de l’esprit humain : le calcul différentiel et intégral. Comme le montre George Gheverghese Joseph de l’University of Manchester, certains des résultats obtenus à l’aide de l’analyse infinitésimale à partir de la fin du 17ième siècle en Europe, étaient déjà connus des mathématiciens de l’école du Kerala, au sud-ouest de l’Inde, vers 1 400. Selon lui, on ne peut d’ailleurs pas écarter la possibilité qu’une partie de l’inspiration de Leibniz et Newton ne provienne de la transmission des travaux de Madhava et Nilakantha en Occident par les jésuites.”

les performances des mathématiciens de l’école du Kerala sont spectaculaires et méritent à juste titre d’être universellement reconnues. Incontestablement, leurs noms doivent maintenant figurer au panthéon des grands mathématiciens de l’humanité avec Archimède et Al-Khwarizmi.

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