Mathématiques amusantes : problème ouvert de géométrie.

Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.

On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M aux trois côtés du triangle.

Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimum ?

 

J’aime beaucoup ce type de problème, simple mais qui parait ardu quand on ne sait pas par quel bout le prendre.

On commence tous par laisser parler son intuition.

Paroles d’élève :

– » C’est simple, on a qu’à coller M sur un sommet (Le jeune homme avait dit « coin » mais je n’ai plus l’audition excellente que j’avais à 20 ans NDLR) , on aura alors plus qu’un segment, ça sera forcement plus petit !

– « Bah non, ton trait sera vachement plus long que si on le met au milieu d’un côté ! »

– » Oui mais toi il t’en reste deux, des segment, et deux est plus grand que 1… »

– » Dans un triangle équilatéral, on sait que les intersections de toutes les droites remarquables sont au même endroit. A tous les coups c’est là ! »

-« Pas con ! »

-« Euh, avec 3 segments on aurait une distance plus courte qu’avec un seul ? je veux bien parier ! »

– » On a qu’à essayer sur l’ordi »

Oh comme elle est bonne cette idée ! Nous disposons d’outils puissants et agréable à utiliser, comme geogebra, qui peuvent nous donner la piste à suivre. On sait tous qu’il faudra démontrer quelque chose, mais avant de se lancer, ayons une conviction forte du résultat !

En bougeant le point M, on s’aperçoit qu’il semble bien que la somme MD+ME+MF ne dépende pas du point M… C’est fou !

Petite remarque informatique avant de passer à la démonstration : La syntaxe pour insérer une zone de texte dans géogebra en mélangeant du texte et des valeurs est particulière et dépend de la version :

Dans la dernière que j’utilise (3.1.27) si on veut afficher A + B = valeur de A + valeur de B = valeur de (A+B) on doit entrer :
 » A + B =  » + A +  » +  » + B +  » =  » + (A+B)

Je trouve personnellement que le choix du signe « + » pour la concaténation des chaines de caractères est discutable, mais bon… Ne nous éloignons pas.

On démontre ?

On démontre

J’ai pris l’habitude de donner des indices de démonstration sous la forme d’une liste de mots, et c’est au deuxième mot que la lumière fût :

1. AIRES (J’ avais souligné le S)
2. PUZZLE

Les trois triangles de couleurs différentes pavent le triangle ABC : leurs aires se recollent exactement en l’aire du grand. Chacun a pour base un côté du triangle, de longueur c, et pour hauteur associée l’un des trois segments MD, ME, MF. En notant \mathcal{A} l’aire du triangle équilatéral, on a donc :

\mathcal{A} = \frac{MD \times c}{2} + \frac{ME \times c}{2} + \frac{MF \times c}{2}

d’où

2\mathcal{A} = c \times (MD+ME+MF)

et enfin

MD+ME+MF = \frac{2\mathcal{A}}{c}

Le membre de droite ne fait plus intervenir que l’aire et le côté du triangle ABC : cette somme ne dépend pas de l’endroit où se trouve M dans le triangle. Tous les points conviennent, la question de départ n’avait pas de réponse… et c’est bien ça qui est beau.

Et cette constante, c’est laquelle ?

On peut aller jusqu’au bout. L’aire du triangle se calcule aussi avec sa hauteur h : \mathcal{A}=\dfrac{c \times h}{2}, donc

MD+ME+MF = \frac{2\mathcal{A}}{c} = h = \frac{c\sqrt{3}}{2}

La somme des trois distances vaut la hauteur du triangle. On le vérifie d’ailleurs sans calcul en poussant M jusqu’à un sommet : deux des trois segments s’écrasent, et le troisième est justement la hauteur. Ce résultat porte un nom, le théorème de Viviani, du nom d’un élève de Galilée.