Les neuf chiffres, chacun une fois, arrangés en deux multiplications qui donnent le même produit. Il faut le rendre aussi grand que possible. Et cette fois, je vous préviens tout de suite : la réponse imprimée dans le livre n’est pas la bonne.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Notez la dernière phrase : elle verrouille les formats, et c’est elle qui fait le problème.
J’ai neuf jetons, portant chacun l’un des neuf chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Je les ai disposés sur la table en deux groupes, comme le montre l’illustration, de façon à former deux multiplications, et j’ai trouvé que les deux donnaient le même produit. Vous vérifierez que 158 multiplié par 23 fait 3 634, et que 79 multiplié par 46 fait également 3 634. Le casse-tête que je propose maintenant est de réarranger les jetons de manière à obtenir un produit aussi grand que possible. Quelle est la meilleure façon de les placer ? Rappelez-vous que les deux groupes doivent donner le même produit, et qu’il doit y avoir trois jetons multipliés par deux d’un côté, et deux multipliés par deux jetons de l’autre, exactement comme à présent.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Dudeney ouvre sa solution par une profession de foi que j’aurais pu prendre pour devise de cette série : « Un certain tâtonnement est ici inévitable. Mais il y a deux sortes de tâtonnements : ceux qui sont purement fortuits, et ceux qui sont méthodiques. Le véritable amateur de casse-tête ne se satisfait jamais de simples essais au hasard. » Il annonce ensuite avoir trouvé la meilleure disposition possible, et donne un produit de 5 568, obtenu avec 174 × 32 et 96 × 58 — « une solution qu’on ne trouve pas sans quelque jugement et quelque patience ».
Sauf que ce n’est pas le maximum. J’ai passé les 362 880 arrangements possibles en revue — ce qui prend aujourd’hui moins d’une seconde — et il existe des dispositions qui font strictement mieux, en respectant chacune des conditions de l’énoncé. Ses essais méthodiques se sont arrêtés trop tôt. Il n’y a là aucune malice de ma part : c’est ce qui arrive à quiconque explore à la main un ensemble qu’il ne peut pas parcourir en entier, et c’est précisément la différence que fait une machine. Le beau du problème, c’est que sa réponse à lui reste vérifiable en dix secondes — et la vôtre aussi.
Ce que le problème demande vraiment
Les formats sont imposés. Un nombre de trois chiffres multiplié par un nombre de deux d’un côté ; deux nombres de deux chiffres de l’autre. Trois plus deux plus deux plus deux : les neuf jetons y passent, chacun une seule fois, et il n’en reste aucun. On ne peut donc pas « améliorer » en s’autorisant un nombre de quatre chiffres.
La contrainte d’égalité est votre meilleure alliée, alors qu’elle a l’air d’être l’obstacle. Sans elle, il y aurait des milliers de façons de placer les jetons et la question du maximum serait triviale. Avec elle, l’immense majorité des arrangements tombe d’un coup : deux produits tirés au hasard n’ont aucune raison de coïncider. Les produits communs réellement atteignables se comptent sur les doigts des deux mains. Le champ est bien plus étroit que le désordre de départ ne le laisse croire — encore faut-il trouver comment le balayer sans rien oublier.
Et « aussi grand que possible » veut dire ce que ça veut dire. Trouver mieux que 5 568 ne suffit pas : il faut pouvoir affirmer qu’on ne peut pas faire mieux encore. C’est là que Dudeney a trébuché, et c’est là que le problème devient intéressant.
Ce que ce problème fait travailler
La multiplication, d’abord, et sans calculatrice si possible : celui qui sait qu’un nombre de trois chiffres commençant par 5 multiplié par un petit nombre de deux chiffres peut dépasser un produit de deux nombres moyens a déjà compris quelque chose sur les ordres de grandeur. Le calcul n’est pas ici une corvée, c’est l’instrument de la recherche.
Ensuite, la manière de tailler dans un ensemble trop grand. Trois cent soixante-deux mille arrangements, c’est hors de portée à la main — mais on n’a pas besoin de les voir tous. Les critères de divisibilité, la somme des chiffres, la parité des produits : chacun raye des milliers de cas d’un trait. C’est exactement l’esprit des cryptarithmes, où l’on démontre qu’un chiffre est impossible avant même d’avoir essayé.
Enfin, une leçon qui n’a pas de chapitre : un auteur imprimé peut se tromper. Celui-ci était le meilleur de son temps, il a passé des années sur ces problèmes, et il a manqué celui-ci. Vérifier ce qu’on lit, même signé d’un grand nom, est un réflexe qui vaut tous les cours de méthode.
À vous
- battez 5 568. C’est faisable, et pas seulement d’une façon.
- quel est le vrai maximum ?
- et combien y a-t-il, en tout, de produits atteignables par deux telles multiplications ?
En commentaire. Je donnerai dans quelques jours la liste complète, le maximum, et le petit programme qui les trouve — mais la première question se traite très bien avec un crayon et un peu d’obstination. C’est d’ailleurs tout ce dont Dudeney disposait.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR.
Problème n° 81 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.