Trois aiguilles, et un mot qui fait tout le problème : presque. Elles sont presque équidistantes, et Dudeney glisse au passage que l’équidistance exacte, elle, n’arrivera jamais. Il l’affirme et passe à autre chose.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement, y compris cette affirmation lâchée en passant.
Nous avons ici un chronomètre à trois aiguilles. La trotteuse, qui fait le tour du cadran en une minute, est celle qui porte un petit anneau à son extrémité, près du centre. Notre cadran indique l’heure exacte à laquelle son propriétaire a arrêté la montre. Vous remarquerez que les trois aiguilles sont presque équidistantes. Les aiguilles des heures et des minutes désignent des points exactement séparés d’un tiers de la circonférence, mais la trotteuse est un peu trop avancée. Une équidistance exacte des trois aiguilles n’est pas possible. Nous voulons maintenant savoir quelle sera l’heure à laquelle les trois aiguilles se retrouveront, pour la prochaine fois, exactement aux mêmes distances les unes des autres que sur le dessin. Saurez-vous dire cette heure ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Ce n’est pas une montre, c’est un instrument. Une montre de poche ordinaire de 1917 n’affichait pas les secondes au centre : elle avait une petite trotteuse reléguée dans un cadran auxiliaire. Une aiguille des secondes montée sur l’axe central, balayant tout le cadran et qu’on peut arrêter : c’est le chronomètre, l’outil du médecin, du physicien et du chronométreur sportif. Le sujet du problème est donc un objet cher, et c’est bien pour cela qu’il trône dans le récit.
Notez la précaution de Dudeney : il prend soin de vous dire laquelle des trois est la trotteuse — « celle qui porte un petit anneau près du centre ». Sans cette phrase, la planche serait illisible : les trois aiguilles se ressemblent trop pour qu’on les départage. Ce petit anneau n’est pas un ornement, c’est le contrepoids monté derrière l’axe. Un énoncé qui renvoie à une image doit lui donner sa légende, sinon la figure ne prouve rien.
Ce que le problème demande vraiment
« Les mêmes distances » n’est pas « les mêmes positions ». On ne vous demande pas de retrouver les aiguilles là où elles sont ; on vous demande de retrouver les trois écarts qui les séparent. Trois nombres, pas trois aiguilles. La différence a l’air mince, elle est décisive : elle ouvre des possibilités que l’autre lecture interdirait.
Et il y a cette affirmation gratuite. « Une équidistance exacte des trois aiguilles n’est pas possible » : Dudeney la pose au milieu de son énoncé, comme une évidence, et ne la démontre nulle part — ni dans l’énoncé, ni dans sa solution. Elle est pourtant loin d’être évidente. Les aiguilles des heures et des minutes se retrouvent, elles, exactement à 120° l’une de l’autre plusieurs fois par jour ; pourquoi la troisième ne pourrait-elle jamais rejoindre le rendez-vous ? Il y a là un second problème, plus beau que le premier, et Dudeney vous l’a laissé.
Le matériel est le même que d’habitude, et il tient en une ligne : la trotteuse fait un tour par minute, l’aiguille des minutes un tour par heure, celle des heures un tour en douze heures. Rien d’autre n’entre dans le calcul.
Ce que ce problème fait travailler
La question principale se traite comme les précédentes : trois vitesses, un cadran, une condition à écrire. Mais la question cachée — l’impossibilité — relève d’un tout autre geste, et c’est le plus formateur. Démontrer qu’une chose n’arrive jamais, ce n’est pas essayer longtemps sans la trouver : c’est produire un argument qui ferme la porte une fois pour toutes. C’est la famille des problèmes de raisonnement, celle où l’on ne cherche pas une valeur mais une preuve.
Et l’outil qui ferme la porte, ici, vient de l’arithmétique : quand une égalité entre nombres entiers doit être vraie et qu’un simple argument de divisibilité montre qu’elle ne peut pas l’être, l’affaire est réglée en trois lignes. Trois lignes que le lecteur de 1917 devait trouver seul, puisque l’auteur ne les a pas écrites.
Reste une habitude de méthode, la même que pour toute cette série : ne pas arrondir. Les instants où trois aiguilles se placent joliment ne tombent pas sur des secondes rondes ; ils s’écrivent avec des dénominateurs qu’aucun exercice scolaire n’oserait afficher, et c’est précisément dans ces fractions que se cache la réponse.
À vous
Deux questions, donc, et la seconde n’est pas dans l’énoncé :
- à quelle heure exacte les trois aiguilles se retrouveront-elles aux mêmes écarts qu’à l’arrêt de la montre ?
- et pourquoi les trois aiguilles ne peuvent-elles jamais être exactement à 120° les unes des autres ?
En commentaire, comme toujours. J’y mettrai mes réponses dans quelques jours — et je préviens que la première a une solution d’une élégance rare, qui se passe presque de calcul. Celle-là, si vous la trouvez, vous ne l’oublierez pas.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES.
Problème n° 63 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.