À quinze milles à l’heure il arrive une heure trop tôt ; à dix milles à l’heure, une heure trop tard. Quelle distance a-t-il à parcourir ? Et regardez la gravure avant de commencer, elle vaut le détour.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Il manque une donnée — c’est voulu.
Nous avons sur l’illustration un croquis de sire Edwyn de Tudor allant délivrer sa bien-aimée, la belle Isabelle, retenue captive par un méchant baron du voisinage. Sire Edwyn calcula que s’il chevauchait à quinze milles à l’heure, il arriverait au château une heure trop tôt, tandis que s’il allait à dix milles à l’heure, il y parviendrait juste une heure trop tard. Or il était de la plus haute importance qu’il arrivât à l’heure exacte fixée, pour que le sauvetage qu’il avait projeté réussît ; et l’heure du rendez-vous était cinq heures, quand la dame captive prendrait son thé de l’après-midi. Le casse-tête consiste à découvrir exactement quelle distance sire Edwyn de Tudor avait à parcourir.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Quatre problèmes plus haut, Dudeney vous a déjà tendu un piège avec ces deux vitesses-là. La section s’ouvre en effet sur celui-ci : « Lors d’une récente promenade en automobile, nous avons roulé à dix milles à l’heure ; mais nous avons fait le trajet de retour, par la même route, à quinze milles à l’heure. Quelle était notre vitesse moyenne ? Ne répondez pas trop vite à cette petite question toute simple, ou il est à peu près certain que vous vous tromperez. » Dix et quinze, encore. Ce n’est pas un hasard de mise en page, et l’avertissement vaut aussi pour le chevalier — je n’en dis pas plus.
Un mot sur la maison, pendant que vous cherchez. Chacune des vingt-deux sections du livre s’ouvre sur une citation littéraire — ici l’Ecclésiaste, « la course n’est pas aux plus rapides ». Ailleurs c’est Shakespeare, quatre fois, Byron deux fois, Milton, Platon, Spenser, Congreve. Et en tête de la section consacrée aux paradoxes, cette signature : C. L. Dodgson, Pillow Problems — c’est-à-dire Lewis Carroll, cité sous son vrai nom de mathématicien. Un recueil de casse-tête meublé comme la bibliothèque d’un gentleman.
Ce que le problème demande vraiment
L’heure du départ n’est pas donnée — et il ne faut pas la chercher. C’est le premier réflexe : « à quelle heure part-il ? », et l’on se croit bloqué. Or elle n’est pas une donnée, elle est une conséquence. Deux renseignements, deux inconnues — la distance et la durée du trajet — et le système se ferme tout seul. L’heure du départ tombera en prime, une fois le reste trouvé.
Ce que disent exactement les deux phrases. « Une heure trop tôt » et « une heure trop tard » ne parlent pas de la distance : elles parlent de la durée du trajet, comparée à celle qu’il faudrait. Entre les deux allures, l’écart de durée est donc de deux heures. C’est la seule chose que l’énoncé vous dise vraiment, et elle suffit.
Et un avertissement, puisque l’auteur en a donné un lui-même : la bonne allure n’est pas la moyenne de dix et quinze. Si vous avez répondu douze et demi, relisez le problème n° 67 — celui de l’automobile — et demandez-vous ce que « moyenne » veut dire quand on parle de vitesses. C’est la faute la plus répandue de tout le chapitre, et elle est vieille de deux mille ans.
Ce que ce problème fait travailler
Le trio vitesse, distance, durée, au programme du cycle 4 et rarement mis en scène aussi proprement : deux allures, un même trajet, et un écart de temps connu. Aucune formule à réciter — il suffit de savoir que la durée est le quotient de la distance par la vitesse, et de l’écrire deux fois.
Ensuite la mise en équation, dans le cas où elle est vraiment utile : deux inconnues, deux relations, et la donnée manquante qui se révèle être un résultat. Un élève qui a compris cela ne dira plus « il manque une donnée » devant un énoncé — il comptera d’abord les inconnues et les relations.
Et pour finir un mot sur la gravure, parce qu’elle enseigne quelque chose elle aussi. Le texte parle d’un chevalier qui chevauche ; l’image le met en armure sur une bicyclette, lancé à toute allure vers le donjon. C’est un aveu : le décor médiéval est un costume, et le problème dessous est celui d’un automobiliste pressé. Dudeney passe son temps à déguiser des questions modernes en histoires anciennes — ici, le dessinateur vend la mèche.
À vous
- quelle distance sire Edwyn avait-il à parcourir ?
- à quelle allure aurait-il dû aller pour arriver à cinq heures pile ? (Ce n’est pas douze et demi.)
- et la question qui vaut mieux que les deux autres : cette bonne allure dépend-elle de l’avance et du retard, ou seulement des deux vitesses ? Essayez avec « deux heures trop tôt, deux heures trop tard » et comparez.
La troisième réserve une petite surprise, et elle explique du même coup pourquoi Dudeney a choisi dix et quinze deux fois dans la même section. En commentaire.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE.
Problème n° 71 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les trois réponses, comme promis — et la troisième est bien celle qui vaut le détour.
1. Soixante milles. Inutile de chercher l’heure du départ : elle s’élimine toute seule. Appelons
dla distance ettla durée qu’il faudrait pour arriver pile. À quinze milles à l’heure il metd/15 = t − 1; à dix,d/10 = t + 1. La différence des deux temps vaut deux heures, ettdisparaît :d/10 − d/15 = 2, doncd/30 = 2etd = 60. Vérification : soixante milles à quinze à l’heure font quatre heures de route, à dix ils en font six — une heure de trop de chaque côté. Dudeney, qui aime les mises en scène, précise que sire Edwyn partait à midi : il arrivait donc à quatre heures ou à six, pour un rendez-vous fixé à cinq.2. Douze milles à l’heure. Pas douze et demi. C’est le piège, et presque tout le monde y tombe : on prend la moyenne de dix et quinze. Or il faut couvrir soixante milles en cinq heures, ce qui fait douze. La moyenne arithmétique serait la bonne réponse si l’on passait la moitié du temps à chaque allure ; ici c’est la moitié du trajet qui compte, et la bonne opération est la moyenne harmonique :
2 × 10 × 15 / (10 + 15) = 300/25 = 12. La règle générale vaut d’être retenue, car elle resservira : quand on moyenne des vitesses sur une même distance, c’est toujours l’harmonique, jamais l’arithmétique. Et elle est toujours plus petite — d’où le demi-mille à l’heure qui manque.3. La surprise : l’allure ne dépend pas de l’avance et du retard. Refaites le calcul avec « deux heures trop tôt, deux heures trop tard » : la distance double, cent vingt milles, le temps juste passe à dix heures — et l’allure reste douze. Recommencez avec trois heures : cent quatre-vingts milles, quinze heures, toujours douze. Tant que l’avance et le retard sont égaux, la bonne allure ne dépend que des deux vitesses, et c’est leur moyenne harmonique. Ce qui change avec l’écart, c’est la distance, qui lui est proportionnelle.
Si l’avance et le retard diffèrent — disons une heure trop tôt et trois heures trop tard — la symétrie se rompt et l’allure devient une moyenne harmonique pondérée :
(a + b) v₁ v₂ / (a v₁ + b v₂), oùaest l’avance etble retard. On retrouve bien2 v₁ v₂ / (v₁ + v₂)dès quea = b.Et pourquoi dix et quinze, deux fois dans la même section ? Parce que leur moyenne harmonique tombe juste. Pour la plupart des couples de vitesses,
2 v₁ v₂ / (v₁ + v₂)n’est pas entier — essayez dix et vingt-cinq, vous obtenez un peu plus de quatorze et un quart. Dix et quinze donnent douze tout rond, et une énigme de salon ne se raconte pas avec des fractions au dénominateur incommode. Le choix des nombres fait partie du métier de Dudeney, au même titre que la fair Isabella et son baron félon.