Les causeries de Poincaré : l’idée qui monta dans l’omnibus

Le 23 mai 1908, Henri Poincaré monte à la tribune de l’Institut général psychologique, à Paris, pour parler d’un sujet qu’on n’attendait pas d’un mathématicien : ce qui se passe dans sa tête quand il trouve. Il a cinquante-quatre ans, il est l’un des plus grands mathématiciens de son temps, et il va raconter à des psychologues comment une idée lui est venue un jour d’été 1880, en montant dans un omnibus.

La conférence est reprise la même année dans Science et méthode, sous le titre « L’invention mathématique ». C’est par elle que commence ce feuilleton, qui va parcourir les quatre livres où Poincaré s’adresse à tout le monde. Pour une fois, pas de traduction : il écrit en français, et une très belle langue. Je le cite donc au mot près.

Le mathématicien qui ne savait pas additionner

Il part d’une question que tout professeur s’est posée un soir de correction. Si les mathématiques ne demandent que de la logique, et que la logique est la même pour tous, « comment se fait-il qu’il y ait tant de personnes qui y soient totalement réfractaires ? » Une démonstration n’est qu’une suite de petits raisonnements, que chacun sait faire séparément dans la vie courante. Alors pourquoi la chaîne casse-t-elle ?

Première réponse, la plus naturelle : la mémoire. Entre le moment où l’on établit un résultat et celui où on le réutilise, on en a oublié le sens, et on le remplace par un énoncé « un peu différent ». Il faudrait donc, pour réussir en maths, une mémoire et une attention hors du commun, comme au whist ou aux échecs. Et c’est là que Poincaré place l’aveu qui fait tout le sel de la conférence :

Quant à moi, je suis obligé de l’avouer, je suis absolument incapable de faire une addition sans faute. Je serais également un fort mauvais joueur d’échecs ; je calculerais bien qu’en jouant de telle façon, je m’expose à tel danger ; je passerais en revue beaucoup d’autres coups que je rejetterais pour d’autres raisons, et je finirais par jouer le coup d’abord examiné, ayant oublié dans l’intervalle le danger que j’avais prévu.

Henri Poincaré, « L’invention mathématique », 1908

Pourquoi sa mémoire, insuffisante aux échecs, ne le lâche-t-elle pas au milieu d’une démonstration difficile ? Parce qu’elle y est guidée. « Une démonstration mathématique n’est pas une simple juxtaposition de syllogismes : ce sont des syllogismes placés dans un certain ordre, et l’ordre dans lequel ces éléments sont placés est beaucoup plus important que ne le sont ces éléments eux-mêmes. » Qui voit cet ordre d’un coup d’œil n’a plus rien à retenir : chaque étape « viendra se placer de lui-même dans le cadre qui lui est préparé ».

C’est une phrase à garder sous la main. L’élève qui apprend une démonstration ligne à ligne, sans en voir le plan, fait exactement ce que Poincaré se dit incapable de faire.

Un café noir, un omnibus, une falaise, un boulevard

Inventer, dit-il ensuite, ce n’est pas essayer toutes les combinaisons possibles : elles sont trop nombreuses, et presque toutes inutiles. « Inventer, c’est discerner, c’est choisir. » Mais comment choisit-on parmi des possibilités qu’on n’a même pas le temps d’examiner ? Pour répondre, il raconte comment il a écrit son premier mémoire sur les fonctions fuchsiennes. Il prévient qu’on n’a pas besoin de comprendre ce que c’est : « ce qui est intéressant pour le psychologue, ce n’est pas le théorème, ce sont les circonstances. »

Premier épisode, la nuit blanche. Quinze jours de travail sans résultat, une heure ou deux par jour. « Un soir, je pris du café noir contrairement à mon habitude ; je ne pus m’endormir ; les idées surgissaient en foule ; je les sentais comme se heurter, jusqu’à ce que deux d’entre elles s’accrochassent pour ainsi dire pour former une combinaison stable. » Au matin, le résultat est là.

Deuxième épisode, l’omnibus. Il quitte Caen, où il enseigne, pour une excursion de géologie organisée par l’École des Mines, et oublie complètement ses recherches.

Arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marche-pied, l’idée me vint […] que les transformations dont j’avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes sont identiques à celles de la Géométrie non-euclidienne. Je ne fis pas la vérification ; je n’en aurais pas eu le temps, puisque, à peine assis dans l’omnibus, je repris la conversation commencée, mais j’eus tout de suite une entière certitude.

L’idée ne répond à rien de ce qu’il pensait à ce moment-là. Et, détail qui compte, il ne vérifie qu’une fois rentré à Caen, « pour l’acquit de ma conscience ».

Troisième épisode, la falaise. Il passe à des questions d’arithmétique, sans succès, et part quelques jours au bord de la mer, « dégoûté de mon insuccès ». En se promenant sur une falaise, l’idée lui vient, « toujours avec les mêmes caractères de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate », que ce travail d’arithmétique et le précédent sont la même chose.

Quatrième épisode, le boulevard. Il reste une dernière difficulté, qui résiste à un siège en règle. Il part faire son service militaire au Mont Valérien, et « un jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m’avait arrêté m’apparut tout à coup. » Il n’y touche pas avant la fin de son service, puis rédige le mémoire « d’un trait et sans aucune peine ».

L’illumination ne vient qu’après le travail

Raconté ainsi, on pourrait croire à un éloge de la promenade. C’est tout le contraire, et Poincaré insiste. Le travail inconscient « n’est possible et, en tout cas, […] n’est fécond que s’il est, d’une part, précédé, et, d’autre part, suivi d’une période de travail conscient ». Avant, il faut des jours d’efforts qui ont l’air perdus :

Ces efforts n’ont donc pas été aussi stériles qu’on le pense ; ils ont mis en branle la machine inconsciente, et sans eux elle n’aurait pas marché et elle n’aurait rien produit.

Après, il faut rédiger, tirer les conséquences et surtout vérifier. L’inconscient ne fait pas les calculs à votre place : « Il semble qu’en pensant le soir aux facteurs d’une multiplication, on pourrait espérer trouver le produit tout fait à son réveil […]. Il n’en est rien, l’observation le prouve. » Il fournit des points de départ, pas des résultats.

Reste à comprendre pourquoi ce sont les bonnes idées qui remontent à la surface, et pas les mille autres. Sa réponse est la plus belle page de la conférence : c’est une question de goût. Les combinaisons qui franchissent le seuil de la conscience sont celles qui touchent « le sentiment de la beauté mathématique, de l’harmonie des nombres et des formes, de l’élégance géométrique ». Et ce ne sont pas deux choses différentes, parce que « les combinaisons utiles, ce sont précisément les plus belles ». Le goût sert de tamis.

Les atomes crochus, en chiffres

Il reste une objection, et Poincaré la formule lui-même. Si l’inconscient forme ses combinaisons au hasard, et qu’il n’en forme qu’une petite partie, « il y aura bien peu de chances pour que la bonne, celle qu’on doit choisir, se trouve parmi elles ». Sa réponse est une image qu’il qualifie lui-même de « grossière ». Les idées sont comme les atomes crochus d’Épicure, accrochés au mur quand l’esprit est au repos. Le travail conscient en décroche quelques-uns et les met en mouvement, et ils continuent à s’agiter après qu’on a posé le crayon. Il en conclut que « les seules combinaisons qui ont chance de se former, ce sont celles où l’un des éléments, au moins, est l’un de ces atomes librement choisis par notre volonté ».

Poincaré ne donne aucun chiffre, mais son image se calcule. Voici un modèle, le mien et pas le sien, avec des nombres choisis pour fixer les idées. On a 1 000 idées en tête, dont 20 ont été remuées par une semaine d’efforts, et la nuit produit 1 000 rencontres de deux idées. La bonne combinaison associe une idée remuée à une idée restée au mur.

• Sans le travail préalable, toutes les paires sont possibles : il y en a \binom{1000}{2} = 499\,500. La bonne a environ 0,2 % de chances de sortir dans la nuit.
• Après le travail, seules comptent les paires qui contiennent au moins une idée remuée : \binom{1000}{2} - \binom{980}{2} = 19\,790. Les chances passent à 4,9 %.

La probabilité est multipliée par vingt-cinq. Le travail conscient ne trouve pas la solution, mais il réduit le nombre de combinaisons parmi lesquelles le hasard la cherche. C’est ce que Poincaré décrit sans le chiffrer. Le programme calcule les deux probabilités exactement, puis les retrouve en simulant 10 000 nuits de chaque sorte :

from math import comb
import random

N = 1000      # idées disponibles dans la tête
k = 20        # idées « décrochées du mur » par le travail conscient
m = 1000      # rencontres pendant la nuit
# la bonne combinaison est la paire (0, 999) : l'idée 0 a été remuée, pas l'idée 999

def chance(nb_paires):
    """Probabilité que la bonne paire sorte au moins une fois en m rencontres."""
    return 1 - (1 - 1 / nb_paires) ** m

toutes = comb(N, 2)                    # n'importe quelle paire peut se former
remuees = comb(N, 2) - comb(N - k, 2)  # seulement les paires avec une idée remuée
print(f"au hasard pur     : {toutes} paires, chance {chance(toutes):.2%}")
print(f"après le travail  : {remuees} paires, chance {chance(remuees):.2%}")

# la même chose par simulation : 10 000 nuits de chaque sorte
def rencontre(avec_travail):
    """Une paire tirée uniformément parmi les paires possibles."""
    if not avec_travail:
        return random.sample(range(N), 2)
    while True:
        a = random.randrange(k)                          # une idée remuée…
        b = random.randrange(N - 1)                      # …heurte n'importe quelle autre
        b += b >= a
        if b >= k or random.random() < 0.5:              # deux remuées : comptée deux fois
            return a, b

def nuit(avec_travail):
    for _ in range(m):
        if set(rencontre(avec_travail)) == {0, N - 1}:
            return True
    return False

random.seed(1908)
for avec in (False, True):
    print(sum(nuit(avec) for _ in range(10_000)) / 10_000)

La simulation donne 0,18 % et 4,99 %, proches des valeurs exactes de 0,20 % et 4,93 %. Le modèle a ses limites : il fait comme si toutes les rencontres étaient également probables et ne tient aucun compte du goût, ce tamis sur lequel Poincaré insiste tant. Mais il répond à l’objection posée plus haut. Il suffit que le hasard cherche au bon endroit, et c’est le travail de la veille qui le lui indique.

Ce que ça change, concrètement

Laisser le temps aux problèmes. Un problème qu’on cherche pendant l’heure de cours puis qu’on corrige aussitôt ne laisse aucune place à l’incubation. Un problème cherché le lundi, laissé de côté, puis repris le jeudi, oui. C’est l’usage qu’on peut faire des problèmes à chercher du site : les donner à l’avance plutôt que dans l’urgence.

Dire aux élèves que chercher sans trouver n’est pas du temps perdu. Ce n’est pas une consolation, c’est la conclusion de Poincaré : ces efforts « ont mis en branle la machine inconsciente ». L’élève qui dit « j’ai cherché mais je n’ai rien trouvé » a fait la première des quatre étapes. Il faut le lui dire, et lui laisser le temps d’arriver à la troisième.

Ne jamais s’arrêter à l’intuition. L’idée qui vient d’un coup n’est qu’un point de départ, et la certitude qui l’accompagne ne garantit rien. C’est le moment de la vérification, qui doit rester un réflexe, pour Poincaré comme pour un élève de sixième. Pour ceux qui veulent aller plus loin sur ce que les mathématiques disent de la pensée, il y a l’option Mathématiques et philosophie du site.

À vous

• avez-vous votre omnibus de Coutances, cette solution venue sous la douche, dans le train ou au réveil ? Et venait-elle, comme chez Poincaré, après des jours d’efforts ?
• laissez-vous à vos élèves le temps d’incuber, ou tout se cherche-t-il et se corrige-t-il dans la même heure ?
• et la question qui fâche : Poincaré réserve l’invention à ceux qui ont le « sentiment » de l’ordre mathématique, et range « le plus grand nombre » parmi ceux qui ne l’ont pas. Est-ce un don, ou quelque chose qui s’apprend ?

Les commentaires sont ouverts.

Un nouveau feuilleton. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public : La Science et l’Hypothèse (1902), La Valeur de la science (1905), Science et méthode (1908) et Dernières pensées (1913). Tous les épisodes seront réunis sur cette page. Pour des problèmes d’époque cette fois, il y a Rétro Math’s, les casse-tête de Dudeney.

« L’invention mathématique », conférence donnée à l’Institut général psychologique le 23 mai 1908 et reprise au chapitre III du livre premier de Science et méthode (Flammarion, 1908). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, sans modernisation. Pour le lire sur papier : Science et méthode aux Éditions Ducourt ; et, pour commencer Poincaré en poche, La Science et l’Hypothèse chez Champs, présentée par Étienne Ghys.