Neuf bouts de chaîne, cinquante maillons en tout, à réunir en une seule chaîne sans fin. Ouvrir un maillon coûte un penny, le ressouder deux. Une chaîne neuve, en magasin, coûte deux shillings et deux pence. Alors : on répare, ou on achète ? Le calcul évident donne une réponse — et c’est la mauvaise. Dudeney prévient : « à moins d’être malin, le lecteur risque de se tromper de beaucoup ».
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Deux repères d’époque : le shilling vaut douze pence, et « 2 s. 2 d. » se lit deux shillings et deux pence.
Voici un casse-tête fondé sur une jolie petite idée traitée pour la première fois par feu M. Sam Loyd. Un homme avait neuf morceaux de chaîne, comme le montre l’illustration. Il voulait réunir ces cinquante maillons en une seule chaîne sans fin. Il lui en coûtera un penny pour ouvrir un maillon quelconque et deux pence pour le ressouder ; mais il pourrait acheter une chaîne sans fin neuve, de même facture et de même qualité, pour 2 s. 2 d. Quel était le parti le moins coûteux à prendre ? À moins d’être malin, le lecteur risque de se tromper de beaucoup.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
D’abord, la gravure dit la vérité. En comptant les maillons un à un — anneaux de face et barrettes de profil en alternance —, les neuf tronçons mesurent 7, 8, 6, 3, 4, 5, 6, 5 et 6 maillons : cinquante exactement, comme annoncé. Le dessinateur n’a pas triché, et les deux longueurs dont dépend la réponse sont bien là où il faut.
Ensuite, son « parti le moins coûteux » est réellement le meilleur. J’ai programmé le problème de deux façons. La première suit son raisonnement : on choisit des tronçons à sacrifier entièrement, leurs maillons servant de jonctions, et l’on compare les cinq cent douze possibilités. La seconde ne suppose rien du tout : elle examine toutes les manières d’ouvrir des maillons, tronçon par tronçon, sans présumer qu’on en dissout un en entier — plusieurs millions de combinaisons. Les deux tombent sur le même prix, et sur le même geste. Sa solution est optimale, et elle est unique à ce prix-là.
Le piège est une merveille de réglage. Regardez la suite des prix : la méthode naïve — ouvrir un maillon de chaque tronçon pour l’attacher au suivant — revient à un penny de plus que la chaîne neuve. Un seul penny. Le lecteur pressé conclut donc qu’il faut acheter, et il a tort. Celui qui trouve l’astuce de Dudeney décrite en premier dans son corrigé économise quelques pence ; celui qui pousse jusqu’au bout en économise cinq. Les trois prix — le naïf, le demi-malin, le vrai — encadrent le prix du magasin de façon à ce qu’aucune étape du raisonnement ne soit confortable. Changez d’un penny le tarif de la soudure, et tout le problème s’effondre.
Un mot sur Sam Loyd, qu’il cite en ouverture. Les deux hommes se sont écrits, ont échangé des problèmes, puis se sont brouillés : Dudeney a accusé l’Américain de publier sous son nom des casse-tête qui n’étaient pas de lui, et la rupture fut définitive. Que Dudeney lui attribue ici « une jolie petite idée », six ans après sa mort, n’est donc pas une politesse de routine — c’est un hommage, et il faut le lire comme tel.
Et ce n’est pas le seul casse-tête de chaîne devenu classique. Il y a le cousin, plus célèbre encore : un voyageur doit payer son hôtel un maillon d’or par jour, et cherche combien de maillons couper pour pouvoir régler chaque soir sans jamais rien avancer. La réponse tient à l’écriture des nombres en base deux, et ce problème sert aujourd’hui d’introduction au binaire dans la moitié des cours d’informatique. Deux chaînes, deux questions très différentes — et deux façons de découvrir qu’un objet de quincaillerie peut être un objet mathématique.
Ce que le problème demande vraiment
Premier point : un maillon ouvert puis ressoudé coûte trois pence. Ouvrir et souder vont toujours ensemble — on ne laisse pas un maillon ouvert dans une chaîne. L’unité de compte n’est donc ni le penny ni l’opération : c’est le maillon manipulé, à trois pence pièce. Tout le problème revient alors à une seule question : combien de maillons faut-il manipuler au minimum ?
Deuxième point : compter les jonctions, pas les tronçons. Pour fermer n morceaux en un anneau, il faut exactement n jonctions — c’est le même compte que pour asseoir n personnes autour d’une table ronde. Neuf morceaux demandent donc neuf jonctions, et voilà la réponse naïve. Elle est correcte, et pourtant elle n’est pas la bonne : parce qu’un maillon manipulé peut faire autre chose que rester à sa place.
Troisième point, et c’est le déclic : un tronçon dissous devient de la matière première. Si l’on ouvre tous les maillons d’un petit morceau, on obtient autant d’anneaux libres — et chacun peut servir de jonction. Mais on a aussi fait disparaître un morceau, donc une jonction à faire. Un tronçon de trois maillons coûte trois manipulations et en évite… à vous de compter. Toute la question est d’équilibrer les deux.
Et le quatrième point, celui que tout le monde manque. On cherche instinctivement un tronçon à sacrifier, celui de la bonne taille. Mais rien n’oblige à n’en sacrifier qu’un : en dissoudre deux petits supprime deux jonctions au lieu d’une. C’est exactement là que Dudeney place son « moyen subtil de faire encore mieux ». La morale est générale : quand une optimisation résiste, demandez-vous si vous ne vous êtes pas interdit tout seul de combiner deux coups.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord le calcul de coût le plus concret qui soit : des pence, des opérations, un devis à comparer à un prix d’achat. C’est la vraie vie, et cela se traite en sixième.
Ensuite l’idée d’optimiser plutôt que de résoudre : il n’y a pas une réponse juste et des réponses fausses, il y a des réponses plus chères et une moins chère, et il faut prouver qu’on ne peut pas descendre. D’autres problèmes de ce genre sur la page Problèmes et activités.
Et enfin le dénombrement circulaire — n objets en anneau demandent n liaisons, alors qu’en ligne il n’en faut que n − 1. C’est une source d’erreurs inépuisable, et ce problème la met en pleine lumière : voir Probabilités, où le même comptage revient.
À vous
- comptez d’abord les maillons sur la gravure, tronçon par tronçon. Vous devez retomber sur cinquante — et les longueurs vous serviront.
- puis chiffrez la méthode naïve, et comparez-la au prix du magasin. La surprise est instructive.
- et enfin, cherchez à descendre. Il y a un premier palier, facile à trouver, et un second qu’il faut vouloir.
En commentaire, avec votre devis en shillings et pence — et les tronçons que vous avez sacrifiés. Celui de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS.
Problème n° 421 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.