Si la fin du monde survenait le premier jour d’un siècle, quelles seraient les chances qu’elle tombe un dimanche ? La question tient en deux lignes, tout le monde répond « une sur sept » en haussant les épaules, et tout le monde se trompe.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement — c’est vite fait : avec ses trente mots, c’est l’un des cinq plus courts énoncés du livre. Dudeney l’a rangé parmi ses problèmes inclassables, sous une épigraphe du Conte d’hiver : « un ramasseur de bagatelles dont nul ne fait cas ».
Si la fin du monde devait survenir le premier jour d’un nouveau siècle, pourriez-vous dire quelles sont les chances qu’elle se produise un dimanche ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Son corrigé tient en une phrase, sans l’ombre d’une explication : il énumère les jours de la semaine qu’un premier janvier de siècle ne peut pas être, et le dimanche est du nombre. La réponse à la question posée est donc zéro — non pas une petite probabilité, mais l’impossibilité pure. Recalcul fait sur vingt-quatre siècles : exact au jour près. Quatre jours seulement sont possibles, et ils reviennent six fois chacun. Mieux — et cela, il ne le dit pas — la réponse survit à la querelle qui avait passionné ses lecteurs en 1900 : que l’on fasse commencer le siècle à l’année en 01 ou à l’année en 00, le dimanche reste impossible dans les deux conventions. Ce sont seulement les autres jours exclus qui changent. Il avait choisi la seule question que la dispute ne pouvait pas abîmer.
Une précision sur l’image ci-dessus, car cette série tient son crédit de ce que texte et gravures viennent du domaine public : ce problème n’a pas d’illustration dans le livre. Le feuillet de calendrier a donc été composé pour cet article, dans l’esprit des planches de 1917. Seule la date est authentique : janvier 1901 a bien commencé un mardi.
Ce que le problème demande vraiment
Quatre cents ans tombent juste. Voilà le fait sur lequel tout repose, et il vaut la peine d’être vérifié à la main : quatre siècles grégoriens comptent 400 × 365 jours, plus 97 jours bissextiles — un tous les quatre ans, sauf les années en 00, sauf celles divisibles par 400. Cela fait 146 097 jours. Divisez par sept : 20 871 semaines, sans reste. Le calendrier se répète donc à l’identique tous les quatre cents ans, jours de la semaine compris. Personne ne l’avait voulu — les réformateurs de 1582 couraient après l’année solaire, pas après la semaine —, mais c’est vrai, et c’est ce qui rend la question décidable.
D’un siècle au suivant, on décale de cinq jours. Entre deux premiers janviers de siècle il y a 36 524 jours, soit 5 217 semaines et cinq jours de reste : le jour de la semaine avance de cinq crans. Sauf quand le siècle traversé contient une année en 00 divisible par quatre cents — l’an 2000, l’an 2400 —, qui ajoute un jour bissextile : le décalage est alors de six. Trois fois cinq, une fois six, cela fait vingt et un, multiple de sept : la boucle se referme exactement après quatre siècles. Et quatre pas, cela ne fait jamais que quatre jours différents.
Le mot piégé, c’est « chances ». Poser la question comme une probabilité, c’est déjà supposer que l’événement est possible — et c’est ce que fait le lecteur pressé qui répond une sur sept. Avant de compter les cas favorables, il faut vérifier l’univers des possibles ; quand il est vide, il n’y a rien à diviser. C’est la plus courte leçon de probabilités qu’on puisse donner, et elle tient dans un problème de trente mots.
Et tant qu’on y est : le vendredi 13. Le même mécanisme donne une conclusion que Dudeney n’a pas tirée, et qui n’a, semble-t-il, été mise noir sur blanc qu’à la fin des années 1960. Sur le cycle de quatre cents ans, il y a 4 800 mois, donc 4 800 treizièmes jours du mois. Ils ne se répartissent pas également : le 13 tombe 688 fois un vendredi, contre 687 un mercredi ou un dimanche, 685 un lundi ou un mardi, 684 un jeudi ou un samedi. Le vendredi 13 est réellement le plus fréquent des treize — d’un cheveu, mais réellement. La superstition a un fondement arithmétique ; c’est bien la seule chose qu’elle ait.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord les restes, et rien d’autre. Toute la question est de diviser des nombres de jours par sept et de ne garder que ce qui dépasse. C’est le calcul le plus rentable du collège, celui qui répond à « quel jour serons-nous dans mille jours ? » comme à « quel est le chiffre des unités de 7100 ? ». Et les années bissextiles sont un bel exercice de multiples et diviseurs : divisible par quatre, sauf par cent, sauf par quatre cents — trois critères emboîtés dans une seule phrase.
Ensuite, en probabilités, le réflexe qu’on enseigne le moins : établir la liste des cas possibles avant de compter. Un élève à qui l’on demande la probabilité d’un événement impossible répond presque toujours par une fraction, parce que la question semble en appeler une. Voilà un contre-exemple court, drôle et mémorable.
Et enfin l’idée qu’un calendrier est un objet mathématique, avec sa période, ses irrégularités et ses conséquences inattendues. Les autres problèmes de ce genre sont rassemblés sur la page Problèmes et activités.
À vous
- quels sont les quatre jours possibles pour un premier janvier de siècle ? Un calendrier récent et un peu de division suffisent.
- la vérification qui fait tout tenir : pourquoi quatre cents ans font-ils un nombre entier de semaines ?
- et pour aller plus loin, la question que personne ne pose : quel jour de la semaine est le plus fréquent pour un premier janvier quelconque ? Ce n’est pas le même travail, et la réponse surprend aussi.
Un calendrier, un crayon, et surtout pas de machine — c’est un problème qui se fait de tête, en trois divisions. En commentaire, avec vos quatre jours : la réponse de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF.
Problème n° 416 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. La planche de cet article n’en fait pas partie : elle a été composée en 2026, le livre ne donnant aucune illustration pour ce problème. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.