Soixante-quatre cases, un coup de ciseaux en biais, on fait glisser les morceaux — et il n’en reste que soixante-trois. Une case a disparu. Le plus agaçant est que le découpage est vrai : les pièces s’emboîtent sans le moindre jeu. Où diable est passée la case perdue ?
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. La scène est un dîner de Noël chez les Allgood, où les convives s’amusent à se poser des paradoxes ; c’est l’oncle John qui a apporté les ciseaux. Le chapitre fait près de quatre mille mots et ne contient qu’un seul problème numéroté — celui-ci.
« Voici le dessin d’un échiquier, dit-il. Vous voyez qu’il y a soixante-quatre cases — huit sur huit. Je trace maintenant une ligne droite depuis le coin supérieur gauche, à l’endroit où se rejoignent la première et la deuxième case, jusqu’au coin inférieur droit. Je découpe le long de cette ligne avec les ciseaux, je fais glisser vers le haut le morceau que j’ai marqué B, puis je rogne le petit coin C par une coupe le long de la première ligne verticale. Ce petit morceau vient se loger exactement à sa place, en haut, et nous voilà avec un rectangle de sept cases d’un côté et neuf de l’autre. Il n’y a donc plus que soixante-trois cases, puisque sept multiplié par neuf font soixante-trois. Où diable est passée cette case perdue ? J’ai essayé encore et encore d’attraper la petite coquine, mais elle m’échappe toujours. Pour rien au monde je ne parviens à découvrir où elle se cache. »
« Cela ressemble à l’autre vieux sophisme de l’échiquier, et l’explication est peut-être la même, dit Reginald : que les morceaux ne s’emboîtent pas exactement.
— Mais ils s’emboîtent, dit l’oncle John. Essayez, vous verrez bien. »
Plus tard dans la soirée, on vit Reginald et George dans un coin, tête contre tête, s’efforçant d’attraper cette insaisissable petite case ; et il n’est que justice de rapporter qu’avant d’aller se coucher ils avaient réussi à capturer leur proie — même si quelques autres membres de la compagnie ne la virent pas, une fois capturée. Le lecteur saura-t-il résoudre ce petit mystère ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« Mais ils s’emboîtent » — et c’est vrai, ce qui rend ce sophisme bien meilleur que son cousin célèbre. Reginald pense à l’autre découpage d’échiquier — celui qu’on appelle aujourd’hui le paradoxe du carré manquant —, qui transforme les soixante-quatre cases en un rectangle de cinq sur treize, c’est-à-dire soixante-cinq : là, les morceaux ne s’emboîtent pas, et la case gagnée est un fuseau invisible étalé le long de la fausse diagonale — deux pentes qui se ressemblent sans être égales, deux cinquièmes contre trois huitièmes. Ce fuseau a pour aire exactement une case, ni plus ni moins, et la raison porte un nom : l’identité de Cassini, qui dit que le produit de deux nombres de Fibonacci encadrant un troisième vaut le carré de celui-ci à une unité près, tantôt en plus, tantôt en moins. C’est pourquoi la même figure, selon les nombres qu’on y met, fait tantôt apparaître une case et tantôt en fait disparaître une.
Ici, rien de tel : la coupe est exacte et l’illusion est ailleurs. J’ai relevé la coupe sur la gravure : elle descend de huit cases pendant qu’elle en traverse sept. À la dernière ligne verticale, elle passe donc à huit septièmes de case au-dessus du bord — soit 1 + 1/7, très exactement la hauteur que Dudeney attribue au petit triangle C dans son corrigé, et non 1 comme l’œil le croit. Le rectangle final ne mesure pas sept sur neuf, mais sept sur neuf et un septième : son aire fait soixante-quatre, au poil près. Rien ne s’est perdu ; c’est la lecture de la figure qui était fausse.
Ce que le problème demande vraiment
Commencez par le principe, pas par la chasse. Si l’on découpe une figure et qu’on recolle les morceaux sans les superposer ni laisser de vide, l’aire ne bouge pas. Ce n’est pas une opinion, c’est ce que veut dire « aire ». Donc soit les morceaux ne s’emboîtent pas — c’est le cas du cousin à soixante-cinq cases —, soit ils s’emboîtent et il n’y a rien à chercher dans la figure : l’erreur est dans la phrase qui la décrit. Oncle John a dit lui-même laquelle : « sept multiplié par neuf ». Il faudrait encore que le rectangle mesure neuf.
Le coupable est une pente. La coupe descend de huit cases pour sept parcourues : par case franchie, elle descend de huit septièmes, pas de un. C’est presque la diagonale d’une case, et « presque » est tout le métier de l’illusionniste. Sur une seule case l’écart est d’un septième, invisible à main levée ; sur sept cases il fait une case entière — celle-là même qu’on cherche.
Et on peut le vérifier sans ciseaux. Notez la hauteur de la coupe au-dessus du bord inférieur à chaque ligne verticale : elle diminue toujours de la même quantité, et cette quantité n’est pas 1. C’est une suite arithmétique de raison huit septièmes, autrement dit une situation de proportionnalité, et elle suffit à tout décider. Une feuille quadrillée, une règle graduée en septièmes — ou simplement une division posée — et le mystère s’évapore avant qu’on ait déplié le premier morceau.
Reste la vraie question, qui est de méthode : pourquoi croit-on la figure plutôt que le calcul ? Parce qu’un dessin affirme sans démontrer, et que celui-ci est dessiné par quelqu’un qui sait où placer le trait. C’est l’exercice de vigilance le plus utile qu’on puisse faire en géométrie, et il ne coûte qu’une paire de ciseaux.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord l’aire comme invariant : on découpe, on déplace, on recolle, et le total ne change pas. C’est l’idée qui fait tout le chapitre des aires et périmètres, et c’est aussi ce qui permet de démasquer une figure menteuse sans même la regarder de près.
Ensuite la pente, c’est-à-dire la proportionnalité déguisée : « huit cases de descente pour sept de parcours » est un coefficient, et comparer huit septièmes à un est exactement le travail qu’on fait sur la proportionnalité. Les illusions de ce genre reposent toutes sur deux rapports qui se ressemblent ; savoir les comparer, c’est savoir les défaire.
Et enfin le doute méthodique devant un dessin — la même leçon que le damier mutilé, prise par l’autre bout : là-bas la figure cachait une impossibilité, ici elle cache une possibilité. Les autres problèmes du même genre sont sur la page Problèmes et activités.
À vous
- où est passée la case ? Répondez en une phrase — si votre réponse en demande trois, elle est probablement fausse.
- faites-le pour de vrai : papier quadrillé, ciseaux, et mesurez le rectangle obtenu. Il est plus large que vous ne croyez.
- et pour aller plus loin : l’autre sophisme, celui du rectangle de cinq sur treize. Pourquoi ces nombres-là, et quels autres nombres marcheraient aussi bien ?
Une feuille quadrillée et des ciseaux, c’est tout — et c’est un excellent tour à faire en classe, à condition de laisser chercher avant d’expliquer. En commentaire, avec votre explication : celle de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF, A CALENDAR PUZZLE, THE BURMESE PLANTATION.
Problème n° 413 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.