Une carte de bristol, un fil, et un coin coupé de telle sorte qu’elle pende bien droite. Où faut-il couper ? Le problème a mille sept cents ans, et Dudeney l’a publié sous un mauvais jeu de mots pour voir qui s’en apercevrait.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement, y compris la dernière phrase, qui annonce un second problème caché dans le premier.
Voici un casse-tête de Pappus, qui vivait à Alexandrie vers la fin du troisième siècle. C’est la cinquième proposition du huitième livre de ses Collections mathématiques. Je le donne sous la forme où je l’ai présenté il y a quelques années, sous le titre « Le casse-tête de Papa », juste pour voir combien de lecteurs découvriraient qu’il était de Pappus lui-même. « Le papa de la petite demoiselle a pris deux morceaux rectangulaires de carton, de tailles différentes, et a coupé un morceau triangulaire dans l’un d’eux, de sorte que, suspendu par un fil au point A, il pend avec le grand côté parfaitement horizontal, comme le montre l’illustration. Il a mis l’enfant dans l’embarras en lui demandant de trouver le point A sur l’autre carte, de façon à produire le même résultat une fois coupée et suspendue par un fil. » Bien entendu, le point ne doit pas être trouvé par des découpages d’essai. Un point curieux et joli est en jeu dans cette présentation du problème. Le lecteur saura-t-il le découvrir ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« Le casse-tête de Papa » — Papa’s Puzzle — pour Pappus. Dudeney l’avoue lui-même : il a publié la chose sous ce titre des années plus tôt, uniquement pour voir combien de lecteurs reconnaîtraient le géomètre d’Alexandrie derrière le calembour. C’est la proposition 5 du livre VIII des Collections mathématiques, écrite vers la fin du IIIe siècle. Mille sept cents ans, et il tient encore dans une rubrique de journal du dimanche.
Et son corrigé contient la plus belle page du livre. Dudeney y raconte avoir reçu quantité de lettres proposant la même solution — fausse. Il répond par une anecdote : Charles II aurait réuni la Royal Society pour discuter des raisons pour lesquelles l’eau d’un vase ne monte pas quand on y met un poisson vivant ; au milieu des débats, l’un des membres les moins considérables sortit discrètement, fit l’expérience, et constata que l’eau montait. L’histoire est célèbre et sans doute embellie — Dudeney l’appelle une plaisanterie du roi. Sa morale, elle, ne l’est pas : « si mes correspondants avaient de même fait l’expérience avec un morceau de carton, ils auraient vu leur erreur sur-le-champ. L’aire est une chose, la gravitation en est une autre. »
Ce que le problème demande vraiment
Pas de découpages d’essai — l’énoncé l’interdit expressément. On ne cherche pas un point à tâtons, on cherche une construction : une recette à la règle qui donne le bon point sur n’importe quelle carte. C’est la même exigence que dans le problème de la laitière, et c’est ce qui sépare un bricolage d’une solution.
Le piège, puisque l’auteur l’a lui-même désamorcé : couper de manière à ce que le morceau ôté et le morceau restant aient la même aire ne suffit pas. C’est ce que presque tous ses correspondants avaient répondu, et c’est faux. Une carte ne pend pas selon ses aires mais selon son centre de gravité, et le triangle qui pousse sa pointe loin sur le côté pèse dans l’affaire bien plus que sa surface ne le laisse croire. Aire et moment sont deux choses différentes — j’ai vérifié la version « aires égales » par le calcul : la carte penche, très légèrement mais franchement.
Et surtout, n’oubliez pas la dernière phrase de l’énoncé. Dudeney annonce qu’« un point curieux et joli » se cache dans la manière dont il pose le problème, et demande si le lecteur le trouvera. Ce n’est pas une coquetterie : c’est la vraie question, celle qui fait toute la valeur de ce casse-tête, et elle transforme complètement le travail de la petite demoiselle. Cherchez-la — elle vaut mieux que la première.
Ce que ce problème fait travailler
Le centre de gravité, notion que le collège effleure et qui explique tant de choses du monde ordinaire : pourquoi un tabouret bascule, pourquoi une échelle glisse, pourquoi une carte suspendue s’oriente d’une certaine façon. Un objet pendu à un fil place toujours son centre de gravité à la verticale du point d’attache — tout le problème est là, et c’est une phrase, pas une formule.
Ensuite, la distinction entre aire et moment : deux morceaux de même surface ne pèsent pas pareil dans une balance s’ils ne sont pas au même endroit. C’est l’idée du levier, vieille d’Archimède, et elle se comprend très bien avant d’être calculée.
Et enfin, un vrai programme de construction, avec règle et compas, où l’on trace un triangle équilatéral et une diagonale pour obtenir un point qu’aucune mesure ne donnerait exactement — parce que le nombre en jeu n’a pas d’écriture décimale finie. La géométrie sait construire ce que l’arithmétique ne sait qu’approcher.
À vous
- où placer le point A sur la seconde carte ?
- et le « point curieux et joli » que Dudeney vous met au défi de trouver : qu’a-t-il de si joli ?
- enfin, prenez un carton et un fil. Vraiment. C’est un problème d’équilibre : il se tranche en trente secondes sur une table, et l’expérience vous dira si vous aviez raison.
En commentaire. Et si vous êtes tenté par la réponse « il suffit que les deux morceaux aient la même aire », relisez l’encart avant de la poster — vous serez en nombreuse compagnie, mais en mauvaise compagnie.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA.
Problème n° 199 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.