Une laitière traverse son pré : du tabouret à la rivière, puis de la rivière à la laiterie. Où doit-elle toucher la berge pour marcher le moins possible ? On ne vous donne aucune distance — et ce n’est pas un oubli.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement, y compris la chansonnette au milieu — on y revient plus bas.
Voici une petite énigme pastorale dont le lecteur pourrait, à première vue, se figurer qu’elle est très profonde et exige de savants calculs. Il ira peut-être jusqu’à dire qu’il est tout à fait impossible d’y répondre tant qu’on ne nous a rien dit de précis sur les distances. Et pourtant elle est vraiment « simple comme bonjour ». Dans le coin d’un pré, on voit une laitière qui trait une vache, et de l’autre côté du pré se trouve la laiterie où le produit doit être déposé. Mais on a remarqué que la jeune femme descend toujours à la rivière avec son seau avant de regagner la laiterie. Ici le lecteur soupçonneux demandera peut-être pourquoi elle rend ces visites à la rivière. Je ne puis que répondre que cela ne nous regarde pas. Le prétendu lait est entièrement destiné à la consommation locale.
« Où allez-vous donc, ma jolie ? » — « À la rivière, monsieur », dit-elle. — « Je ne choisirai pas votre laiterie, ma jolie. » — « Personne ne vous l’a demandé, monsieur », dit-elle.
Si l’on avait quelque curiosité en la matière, une telle indépendance d’esprit vous désarmerait tout à fait. Passons donc de la morale commerciale au sujet de l’énigme. Tracez une ligne du tabouret de traite jusqu’à la rivière, et de là jusqu’à la porte de la laiterie, qui indique le trajet le plus court possible pour la laitière. C’est tout. Il est parfaitement facile d’indiquer l’endroit exact de la berge vers lequel elle doit diriger ses pas si elle veut marcher le moins possible. Saurez-vous trouver cet endroit ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Les quatre vers ne sont pas de lui. C’est le détournement d’une comptine que tout lecteur anglais de 1917 connaissait par cœur — « Where are you going to, my pretty maid? » — dont la chute est restée proverbiale : « personne ne vous l’a demandé, monsieur ». Dudeney en garde le dernier vers, remplace le reste, et va jusqu’à écrire le verbe en patois pour la rime. Une chronique de casse-tête était aussi un morceau de littérature légère : on y venait pour l’énigme et on y restait pour le ton.
Et le problème n’est pas de lui non plus — de dix-huit siècles. Il ne le dit pas, mais c’est une question posée par Héron d’Alexandrie, au premier siècle, dans son traité sur les miroirs : il y montre que la lumière qui rebondit sur une surface suit le plus court chemin. La laitière et le rayon lumineux résolvent le même problème, et le résolvent de la même façon. Au milieu du XVIIe siècle, Fermat étendra l’idée — la lumière ne minimise pas la distance mais le temps — et toute l’optique en découlera. Ce petit pré du Sussex donne sur des paysages considérables.
Ce que le problème demande vraiment
L’absence de mesures est l’énoncé, pas un oubli. Dudeney vous prévient dès la première phrase que vous allez réclamer des distances. Ne les réclamez pas : la réponse n’est pas un nombre, c’est une construction — une recette qui donne le bon point sur la berge quelles que soient les positions du tabouret et de la laiterie. C’est un changement de nature de la réponse, et beaucoup de gens bloquent là sans s’en rendre compte.
La difficulté tient en une phrase : le trajet est en deux morceaux. Si la laitière allait droit du tabouret à la laiterie, il n’y aurait rien à chercher — la ligne droite est le plus court chemin, tout le monde le sait depuis toujours. Ce qui gêne, c’est ce crochet obligatoire par la berge, qui casse le trajet en deux. Toute la question est donc : comment ramener un chemin brisé au cas qu’on sait traiter ? Si vous tenez cette question, vous tenez le problème.
Et il faudra démontrer, pas seulement dessiner. Placer un point qui a l’air bien n’établit rien : il faut pouvoir dire pourquoi tout autre point de la berge donne un trajet plus long. La bonne nouvelle, c’est qu’une fois la bonne idée trouvée, la démonstration tient en deux lignes et ne demande aucune connaissance de géomètre — Dudeney y insiste, et il a raison.
Ce que ce problème fait travailler
La symétrie axiale, qu’on enseigne au cycle 3 en pliant des feuilles, et dont les élèves ressortent en croyant qu’elle sert à décorer des papillons. Elle sert à cela : à transformer un problème en un autre, plus simple, qui a la même réponse. C’est l’un des gestes les plus puissants des mathématiques, et il est ici à la portée d’un enfant de dix ans.
Ensuite l’idée qu’une réponse peut être une construction. À l’école, une réponse est un nombre ; ici c’est un mode d’emploi valable pour toutes les configurations à la fois. C’est le même esprit que le programme de construction : on ne calcule pas, on décrit ce qu’il faut tracer, et la figure obéit.
Enfin, un pont vers la physique que peu d’élèves voient venir, et que je laisse volontairement inachevé : une fois que vous aurez trouvé la construction, regardez le trajet que vous venez de tracer et demandez-vous où vous l’avez déjà vu. La réponse est dans n’importe quelle salle de bains, et elle explique pourquoi la lumière se comporte comme elle le fait. Ce n’est pas une loi de la nature qu’on subit : c’est une conséquence.
À vous
- où exactement, sur la berge ? Décrivez la construction, pas le point.
- pourquoi tout autre point donne-t-il un trajet plus long ?
- et pour finir : si la laitière devait passer d’abord par la rivière puis par la haie du fond avant de rejoindre la laiterie, sauriez-vous encore faire ?
En commentaire. Une feuille de papier calque et un crayon valent tous les discours — et la troisième question se traite exactement comme la première, deux fois de suite.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE.
Problème n° 187 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.