Deux hommes se disputent devant un tonneau. L’un dit qu’il est plus qu’à moitié plein, l’autre qu’il ne l’est pas. Pas de règle, pas de ficelle, pas de bâton — et pourtant on peut les départager en dix secondes.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. C’est le plus facile de toute la série, et Dudeney l’a mis là exprès — il le dit lui-même dans la dernière phrase.
Les hommes de l’illustration se disputent au sujet du contenu liquide d’un tonneau. De quel liquide il s’agit, impossible de le dire, car nous ne pouvons pas regarder dans le tonneau ; nous l’appellerons donc de l’eau. L’un des hommes dit que le tonneau est plus qu’à moitié plein, tandis que l’autre soutient qu’il n’est pas à moitié plein. Quel est le moyen le plus simple pour eux de trancher la question ? Il n’est pas nécessaire d’employer bâton, ficelle, ni instrument de mesure d’aucune sorte. Je donne ceci simplement comme l’un des exemples les plus simples possibles de la valeur du bon sens ordinaire dans la résolution des casse-tête. Des problèmes apparemment très difficiles peuvent souvent se résoudre d’une manière tout aussi facile, si seulement nous voulons bien user d’un peu de sens commun.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Ce tonneau a des ancêtres considérables. Dudeney ouvre cette section de son livre en rappelant que le premier casse-tête imprimé sur le transvasement de liquides est de Tartaglia (1500-1559) : partager 24 onces de baume précieux en trois parts égales, avec pour seuls récipients des vases de 5, 11 et 13 onces. Bachet de Méziriac le reprend dans ses Problèmes plaisans et délectables de 1612, qui reste l’un des plus beaux titres de l’histoire des mathématiques.
Et il glisse au passage un joyau que je n’ai pas résisté à vérifier. Le problème classique des poids, dû à Bachet : quel est le plus petit jeu de masses permettant de peser tout nombre entier de livres de 1 à 40, si l’on a le droit d’en poser sur les deux plateaux ? Réponse : 1, 3, 9 et 27 — les puissances de trois. Quatre masses pour quarante pesées, et pas une de plus : j’ai fait la liste, elles vont exactement de 1 à 40. Si l’on s’interdit le second plateau, comme le voulait Tartaglia, il en faut six : 1, 2, 4, 8, 16, 32 — les puissances de deux, qui montent alors jusqu’à 63. Deux façons d’écrire les nombres, deux systèmes de numération, cachés dans une boîte de poids d’épicier.
Les programmes sont publics, avec de quoi refaire le calcul : github.com/w0uf/retro-maths-dudeney. Attention, les solutions y sont données.
Ce que le problème demande vraiment
La réponse n’est pas un nombre, c’est un geste. On ne vous demande pas de calculer un volume : on vous demande une manipulation, à faire sur place, avec un tonneau et deux mains. C’est une catégorie de réponse à laquelle l’école n’habitue pas, et c’est pourtant celle du plombier, du charpentier et du cuisinier.
Le vrai obstacle est la forme du tonneau. Il est renflé au milieu : sa moitié en hauteur n’est pas sa moitié en volume, et une graduation naïve serait fausse. C’est bien pour cela que la règle et la ficelle sont interdites — elles ne serviraient à rien. Il faut donc trouver quelque chose qui ne dépende ni de la forme exacte, ni des dimensions, ni du renflement.
Cherchez du côté de ce que le tonneau a de particulier. Un tonneau est un objet remarquablement régulier : il est le même vu d’en haut ou d’en bas, le même en tournant autour. Cette régularité-là n’est pas décorative — elle se traduit en une propriété géométrique très forte, et c’est elle qui résout le problème. Le liquide, lui, se contente d’obéir : sa surface reste plane, quoi qu’on fasse du tonneau.
Ce que ce problème fait travailler
La symétrie centrale, qui souffre d’une réputation d’exercice décoratif : on fait tourner des figures d’un demi-tour autour d’un point, et l’élève n’en voit jamais l’usage. Elle en a un, et il est considérable. Lorsqu’un solide est identique à lui-même après un demi-tour autour de son centre, on peut affirmer des choses sur ses volumes sans jamais les calculer : il suffit de constater que la symétrie échange deux régions, donc qu’elles sont superposables, donc égales. Cherchez ce que le tonneau a de symétrique, et vous n’aurez plus rien à calculer du tout.
Ensuite l’idée qu’un raisonnement peut se passer des dimensions. Ni le rayon, ni la hauteur, ni la courbure des douves n’interviennent. Un élève qui cherche d’abord « combien mesure le tonneau » travaille sur le mauvais problème, et c’est le réflexe le plus répandu devant un énoncé de grandeurs.
Et enfin ce que Dudeney appelle le bon sens ordinaire, et qui n’a rien d’ordinaire : savoir reconnaître qu’un problème est facile. Il a placé celui-ci au milieu de quatre cent trente autres pour cette seule raison. On peut passer une heure à chercher une formule là où un mouvement de poignet suffit, et cela arrive à tout le monde, tous les jours.
À vous
- comment tranchent-ils, sans rien d’autre que leurs mains ?
- et pourquoi cela marche-t-il, quelle que soit la forme du tonneau ? La question est plus intéressante que la première.
- le bonus de Bachet : avec quatre masses seulement et une balance à deux plateaux, pesez tout de 1 à 40 livres. Lesquelles ? (L’encart vous a donné la réponse — trouvez plutôt pourquoi elles suffisent.)
En commentaire. Et si vous avez un tonneau sous la main, l’expérience se fait en vrai — c’est bien le moins, pour un problème qui interdit les instruments.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER.
Problème n° 364 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — un geste, une raison, et les poids de Bachet.
1. Ils penchent le tonneau. On l’incline doucement, jusqu’à ce que l’eau affleure le bord de l’ouverture, prête à couler. À cet instant, on regarde le fond, à l’intérieur. Si la surface de l’eau passe exactement par le bord du fond, du côté opposé, le tonneau est juste à moitié. Si le fond est encore entièrement noyé, il est plus qu’à moitié plein. Si un croissant de fond apparaît à sec, il l’est moins. Dudeney le dit en trois figures, et il ajoute une précision d’artisan : le fond d’un tonneau n’est pas tout à fait au ras du sol, et il a une épaisseur — on en tient compte en haut, d’autant.
2. Pourquoi cela marche : la symétrie centrale. Un tonneau a un centre, au milieu de son axe, à mi-hauteur. Faites-lui faire un demi-tour autour de ce point : le haut vient en bas, la gauche à droite, et le tonneau se retrouve exactement sur lui-même. Maintenant, la surface de l’eau est un plan. Quand elle touche à la fois la lèvre du haut et le bord opposé du fond, elle joint deux points qui sont symétriques l’un de l’autre : elle passe donc par le centre. Or un plan qui passe par le centre est lui-même inchangé par le demi-tour, et ce demi-tour échange ce qui est dessous et ce qui est dessus. La partie pleine et la partie vide sont superposables : elles ont le même volume.
Rien, dans ce raisonnement, ne parle du rayon, de la hauteur ni du renflement des douves. C’est ce que Dudeney résume d’une ligne : la méthode vaut pour « tous les récipients construits symétriquement » — un seau cylindrique, un fût, une boîte de conserve. Elle ne vaut pas pour un verre évasé ou une bouteille : ils n’ont pas de centre.
J’ai tout de même voulu le voir. J’ai décrit un vrai tonneau renflé, nettement plus large au ventre qu’aux extrémités, je l’ai coupé par le plan qui joint la lèvre au bord du fond, et j’ai tiré quatre cent mille points au hasard à l’intérieur : 50,1 % tombent sous le plan. L’écart avec la moitié est celui du tirage, pas celui du tonneau.
3. Les quatre masses de Bachet : 1, 3, 9 et 27 livres. Pourquoi suffisent-elles ? Parce que sur une balance à deux plateaux, chaque masse a trois états, et non deux : dans le plateau opposé à la marchandise, dans le même plateau qu’elle, ou sur la table. Elle compte pour plus, pour moins, ou pour rien. Quatre masses à trois états, cela fait
3 × 3 × 3 × 3 = 81dispositions : une qui ne pèse rien, quarante qui penchent d’un côté et quarante de l’autre. Quarante pesées possibles, donc — et les puissances de trois sont précisément le choix qui les rend toutes différentes, de 1 à 40, sans trou ni doublon. Je les ai énumérées : le compte y est.Deux exemples pour s’en convaincre. Peser 2 livres : la masse de 3 d’un côté, celle de 1 avec la marchandise,
3 − 1 = 2. Peser 20 livres : 27 et 3 d’un côté, 9 et 1 avec la marchandise,27 + 3 − 9 − 1 = 20.C’est une numération : écrire un nombre avec les chiffres
−1,0et+1en base trois. Avec un seul plateau, il ne reste que deux états par masse — posée ou non —, donc la base deux, et les masses 1, 2, 4, 8, 16, 32. La balance à deux plateaux sait soustraire, et c’est tout ce qui sépare les deux boîtes de poids.