Deux hommes se disputent devant un tonneau. L’un dit qu’il est plus qu’à moitié plein, l’autre qu’il ne l’est pas. Pas de règle, pas de ficelle, pas de bâton — et pourtant on peut les départager en dix secondes.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. C’est le plus facile de toute la série, et Dudeney l’a mis là exprès — il le dit lui-même dans la dernière phrase.
Les hommes de l’illustration se disputent au sujet du contenu liquide d’un tonneau. De quel liquide il s’agit, impossible de le dire, car nous ne pouvons pas regarder dans le tonneau ; nous l’appellerons donc de l’eau. L’un des hommes dit que le tonneau est plus qu’à moitié plein, tandis que l’autre soutient qu’il n’est pas à moitié plein. Quel est le moyen le plus simple pour eux de trancher la question ? Il n’est pas nécessaire d’employer bâton, ficelle, ni instrument de mesure d’aucune sorte. Je donne ceci simplement comme l’un des exemples les plus simples possibles de la valeur du bon sens ordinaire dans la résolution des casse-tête. Des problèmes apparemment très difficiles peuvent souvent se résoudre d’une manière tout aussi facile, si seulement nous voulons bien user d’un peu de sens commun.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Ce tonneau a des ancêtres considérables. Dudeney ouvre cette section de son livre en rappelant que le premier casse-tête imprimé sur le transvasement de liquides est de Tartaglia (1500-1559) : partager 24 onces de baume précieux en trois parts égales, avec pour seuls récipients des vases de 5, 11 et 13 onces. Bachet de Méziriac le reprend dans ses Problèmes plaisans et délectables de 1612, qui reste l’un des plus beaux titres de l’histoire des mathématiques.
Et il glisse au passage un joyau que je n’ai pas résisté à vérifier. Le problème classique des poids, dû à Bachet : quel est le plus petit jeu de masses permettant de peser tout nombre entier de livres de 1 à 40, si l’on a le droit d’en poser sur les deux plateaux ? Réponse : 1, 3, 9 et 27 — les puissances de trois. Quatre masses pour quarante pesées, et pas une de plus : j’ai fait la liste, elles vont exactement de 1 à 40. Si l’on s’interdit le second plateau, comme le voulait Tartaglia, il en faut six : 1, 2, 4, 8, 16, 32 — les puissances de deux, qui montent alors jusqu’à 63. Deux façons d’écrire les nombres, deux systèmes de numération, cachés dans une boîte de poids d’épicier.
Ce que le problème demande vraiment
La réponse n’est pas un nombre, c’est un geste. On ne vous demande pas de calculer un volume : on vous demande une manipulation, à faire sur place, avec un tonneau et deux mains. C’est une catégorie de réponse à laquelle l’école n’habitue pas, et c’est pourtant celle du plombier, du charpentier et du cuisinier.
Le vrai obstacle est la forme du tonneau. Il est renflé au milieu : sa moitié en hauteur n’est pas sa moitié en volume, et une graduation naïve serait fausse. C’est bien pour cela que la règle et la ficelle sont interdites — elles ne serviraient à rien. Il faut donc trouver quelque chose qui ne dépende ni de la forme exacte, ni des dimensions, ni du renflement.
Cherchez du côté de ce que le tonneau a de particulier. Un tonneau est un objet remarquablement régulier : il est le même vu d’en haut ou d’en bas, le même en tournant autour. Cette régularité-là n’est pas décorative — elle se traduit en une propriété géométrique très forte, et c’est elle qui résout le problème. Le liquide, lui, se contente d’obéir : sa surface reste plane, quoi qu’on fasse du tonneau.
Ce que ce problème fait travailler
La symétrie centrale, qui souffre d’une réputation d’exercice décoratif : on fait tourner des figures d’un demi-tour autour d’un point, et l’élève n’en voit jamais l’usage. Elle en a un, et il est considérable. Lorsqu’un solide est identique à lui-même après un demi-tour autour de son centre, on peut affirmer des choses sur ses volumes sans jamais les calculer : il suffit de constater que la symétrie échange deux régions, donc qu’elles sont superposables, donc égales. Cherchez ce que le tonneau a de symétrique, et vous n’aurez plus rien à calculer du tout.
Ensuite l’idée qu’un raisonnement peut se passer des dimensions. Ni le rayon, ni la hauteur, ni la courbure des douves n’interviennent. Un élève qui cherche d’abord « combien mesure le tonneau » travaille sur le mauvais problème, et c’est le réflexe le plus répandu devant un énoncé de grandeurs.
Et enfin ce que Dudeney appelle le bon sens ordinaire, et qui n’a rien d’ordinaire : savoir reconnaître qu’un problème est facile. Il a placé celui-ci au milieu de quatre cent trente autres pour cette seule raison. On peut passer une heure à chercher une formule là où un mouvement de poignet suffit, et cela arrive à tout le monde, tous les jours.
À vous
- comment tranchent-ils, sans rien d’autre que leurs mains ?
- et pourquoi cela marche-t-il, quelle que soit la forme du tonneau ? La question est plus intéressante que la première.
- le bonus de Bachet : avec quatre masses seulement et une balance à deux plateaux, pesez tout de 1 à 40 livres. Lesquelles ? (L’encart vous a donné la réponse — trouvez plutôt pourquoi elles suffisent.)
En commentaire. Et si vous avez un tonneau sous la main, l’expérience se fait en vrai — c’est bien le moins, pour un problème qui interdit les instruments.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE.
Problème n° 364 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.