Il y a des énoncés qui vous tendent un piège, et d’autres qui vous en tendent deux. Celui-ci est du second genre — et le premier tient tout entier dans sa dernière phrase.
A ching-chang is worth exactly twopence and four-fifteenths of a ching-chang.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Un ching-chang vaut exactement deux pence, plus quatre quinzièmes de ching-chang. Relisez-la : cette phrase définit le ching-chang à partir de lui-même. Ce n’est pas une coquille de typographe, c’est le cœur du problème.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Le voici traduit intégralement, préambule compris — on verra plus bas pourquoi je ne l’ai pas coupé.
Les Chinois sont un peuple curieux, et ils ont d’étranges façons de faire les choses à l’envers. On dit qu’ils scient en appuyant vers le haut au lieu d’appuyer vers le bas, qu’ils rabotent une planche de sapin en tirant l’outil vers eux au lieu de le pousser, et que, pour bâtir une maison, ils construisent d’abord le toit puis, l’ayant hissé en place, poursuivent en descendant.
Pour l’argent, la monnaie du pays consiste en taels de valeur fluctuante. Le tael devint de plus en plus mince, au point que 2 000 d’entre eux empilés faisaient moins de trois pouces de hauteur. La monnaie courante consiste en pièces de laiton d’épaisseurs variables, percées en leur centre d’un trou rond, carré ou triangulaire, comme sur notre illustration. On les enfile sur des fils de fer comme des boutons.
À supposer que onze pièces à trou rond vaillent quinze ching-changs, que onze à trou carré en vaillent seize, et que onze à trou triangulaire en vaillent dix-sept, comment un Chinois peut-il me rendre la monnaie sur une demi-couronne, sans employer d’autres pièces que ces trois-là ? Un ching-chang vaut exactement deux pence et quatre quinzièmes de ching-chang.
Un mot de monnaie avant d’aller plus loin. Jusqu’au 15 février 1971 — le fameux Decimal Day — la livre britannique n’est pas décimale : 1 shilling vaut 12 pence, et 1 £ en vaut 20. Une demi-couronne, c’est donc 2 shillings et 6 pence, soit 30 pence : la somme à rendre. Cette arithmétique à deux bases n’a rien d’exotique — c’est celle des heures et des minutes.
Ce qu’on lit aujourd’hui
J’ai gardé la traduction exacte, y compris ce préambule sur « un peuple curieux » qui fait tout « à l’envers ». Un document ne s’améliore pas en le rangeant. Mais il mérite d’être nommé : là où le français dit « un Chinois », Dudeney écrit a Chinaman, un mot banal en 1917 et que plus personne n’écrirait aujourd’hui. Ce paragraphe en dit long sur le Londres de 1917, et à peu près rien sur la Chine.
Et ce qu’il décrit n’est qu’à moitié vrai. Les scies et les rabots d’Asie orientale coupent bel et bien en tirant — la lame travaille en traction, elle peut donc être plus fine et le trait plus net : ce n’est pas une façon de faire à l’envers, c’est une autre solution au même problème. Les sapèques de laiton à trou carré, enfilées sur un cordon, ont existé pendant deux mille ans. En revanche le trou rond, le trou triangulaire et le « ching-chang » sortent de l’imagination de Dudeney, et le tael n’était pas une pièce mais une unité de poids — environ 37 grammes d’argent, qui ne pouvait pas « devenir de plus en plus mince ».
Premier temps : la phrase qui se mord la queue
Appelons c la valeur d’un ching-chang, exprimée en pence. La dernière phrase de l’énoncé dit exactement ceci :
c = 2 + \frac{4}{15}\,c
C’est une équation du premier degré dont l’inconnue figure des deux côtés. On la résout comme en quatrième :
c - \frac{4}{15}c = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{11}{15}c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{30}{11}\ \text{pence}
Une valeur qui n’est même pas entière. Et pourtant, regardez ce qui se passe quand on en prend onze :
11 \times \frac{30}{11} = 30 \text{ pence} = \text{une demi-couronne}
Onze ching-changs valent exactement une demi-couronne. Ce 11 n’est pas tombé du ciel : Dudeney l’a glissé dans ses « quatre quinzièmes » pour que le compte tombe rond. C’est de la belle horlogerie d’énoncé, et personne ne le remarque à la première lecture.
La question devient donc : comment fabriquer exactement 11 ching-changs avec ces trois sortes de pièces ?
Deuxième temps : trois sortes de pièces
Une pièce ronde vaut \frac{15}{11} de ching-chang, une carrée \frac{16}{11}, une triangulaire \frac{17}{11}. En appelant r, s et t le nombre de pièces de chaque sorte :
\frac{15r + 16s + 17t}{11} = 11 \quad\Longleftrightarrow\quad 15r + 16s + 17t = 121
Une équation, trois inconnues. Sauf que ces inconnues sont des nombres entiers positifs : on ne rend pas la monnaie avec un tiers de pièce. C’est ce qu’on appelle une équation diophantienne, et ça change tout — au lieu d’une infinité de solutions, il pourrait très bien n’y en avoir aucune.
Cherchez avant de descendre : la réponse est juste en dessous.
La réponse
Sept pièces rondes et une pièce carrée, puisque 7 \times 15 + 1 \times 16 = 105 + 16 = 121.
Deux remarques que Dudeney, lui, ne fait pas.
Aucune pièce triangulaire. L’énoncé en présente trois sortes, la solution n’en emploie que deux — et il n’existe aucune façon de rendre cette monnaie en utilisant les trois à la fois. La troisième sorte de pièce est là pour vous égarer.
C’est la seule solution. Dudeney écrit que l’échange doit se faire ainsi, mais il ne le démontre nulle part. La preuve tient pourtant en trois lignes. Réécrivons l’équation en faisant apparaître des multiples de 15 :
15\,(r+s+t) + (s + 2t) = 121
Le nombre total de pièces est donc entièrement commandé par la quantité s+2t, qui vaut nécessairement 1, ou 16, ou 31… — un de plus qu’un multiple de 15.
- Si s+2t = 1, alors r+s+t = 8 : c’est s=1, t=0, r=7. Notre solution, et huit pièces en tout.
- Si s+2t = 16, alors r+s+t = 7. Mais t = (s+2t) - (s+t) \geq 16 - 7 = 9 : il faudrait 9 pièces triangulaires alors qu’on n’a que 7 pièces en tout. Impossible.
- Chaque palier suivant augmente s+2t de 15 et diminue le nombre total de pièces de 1 : la contradiction ne fait que s’aggraver.
Une seule solution, donc. Un élève de troisième peut l’établir seul — c’est le genre de raisonnement qui vaut bien mieux qu’une réponse trouvée par tâtonnement.
Le vérifier par programme
from fractions import Fraction
# « A ching-chang is worth twopence and four-fifteenths of a ching-chang. »
c = Fraction(2) / (1 - Fraction(4, 15)) # en pence
print("1 ching-chang =", c, "pence") # 30/11
cible = Fraction(30) / c # demi-couronne = 30 pence
print("une demi-couronne =", cible, "ching-changs") # 11
ronde, carree, triangle = Fraction(15, 11), Fraction(16, 11), Fraction(17, 11)
solutions = [(r, s, t)
for r in range(9) for s in range(9) for t in range(9)
if r * ronde + s * carree + t * triangle == cible]
print(solutions) # [(7, 1, 0)]
Deux détails qui comptent. On travaille avec des Fraction et non avec des nombres à virgule : \frac{15}{11} n’a pas d’écriture décimale exacte, et une comparaison d’égalité entre flottants aurait pu passer à côté de la solution. Et la borne de 9 n’est pas arbitraire : la pièce la moins chère vaut \frac{15}{11} ching-chang, il en faut donc au plus 8 pour atteindre 11.
Ce que ce problème fait travailler
Le premier temps est du programme de quatrième : une équation du premier degré dont l’inconnue apparaît dans les deux membres. Mais personne, dans l’énoncé, ne dit « soit x ». Toute la difficulté est là — pas dans la résolution, dans le fait de voir qu’il y a une équation. C’est très exactement le geste qu’entraînent les programmes de calcul et le nombre pensé, et qu’on peut réviser sur Équations et problèmes.
Le second temps n’est pas au programme du collège comme technique, mais il l’est parfaitement comme recherche : essayer, organiser ses essais, et surtout savoir s’arrêter — non pas quand on a trouvé une réponse, mais quand on a montré qu’on les avait toutes vues. C’est un problème ouvert, pas un exercice.
Quant à la monnaie non décimale, ce n’est pas du décor : 12 pence dans un shilling, 20 shillings dans une livre, c’est la mécanique des heures et des minutes. Les élèves la pratiquent déjà sans le savoir.
Et pour une couronne entière ?
Une demi-couronne n’admet qu’une seule façon de rendre la monnaie. Doublez la somme — une couronne, 5 shillings, 22 ching-changs — et il y en a neuf, dont six qui emploient les trois sortes de pièces à la fois.
Celles-là, je ne les donne pas. Saurez-vous les retrouver ? Et surtout : voyez-vous pourquoi la demi-couronne est si avare et la couronne si généreuse ? La réponse tient dans la même écriture que la preuve ci-dessus. C’est en commentaire que ça se passe.
Problème n° 25 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.