Regardez le cadran ci-dessous et dites l’heure. Vous répondrez 4 h 42, ou bien 8 h 23 — et vous aurez raison les deux fois. C’est là toute l’affaire.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Dudeney pose deux questions, et la seconde n’est pas celle qu’on croit.
Le cadran ci-dessus indique un peu avant 4 heures 42. Les aiguilles pointeront de nouveau exactement les mêmes endroits un peu après 8 heures 23. En fait, les aiguilles auront échangé leurs places. Combien de fois les aiguilles d’une horloge échangent-elles leurs places entre trois heures de l’après-midi et minuit ? Et parmi toutes les paires d’heures que ces échanges indiquent, quelle est l’heure exacte à laquelle l’aiguille des minutes sera au plus près du point IX ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Les deux aiguilles ont exactement la même longueur, et se terminent par la même petite feuille — j’ai mesuré sur la planche, elles s’arrêtent au même rayon. Ce n’est pas une négligence du graveur, c’est la condition du problème : rien, sur ce cadran, ne dit laquelle des deux compte les heures. La même image se lit donc 4 h 42 ou 8 h 23. Une horloge ordinaire, avec sa grande et sa petite aiguille, ne poserait pas la question.
Et le quatre s’écrit IIII, pas IV. C’est le cas sur la grande majorité des cadrans à chiffres romains, alors que la notation usuelle est bien IV. Les explications avancées ne s’accordent pas — l’équilibre visuel avec le VIII qui lui fait face, la commodité de fondre les chiffres par jeux identiques, ou la légende d’un roi qui aurait préféré IIII. Aucune ne fait l’unanimité ; la convention, elle, a tenu six siècles.
Ce que le problème demande vraiment
Les deux questions se lisent vite et se comprennent mal. Elles méritent qu’on les repose.
La première compte des paires, pas des instants. Un échange, c’est deux moments : celui où les aiguilles sont dans une certaine position, et celui, plus tard, où elles l’ont exactement inversée. Et les deux doivent tomber entre 15 h et minuit — un échange dont la seconde moitié déborde sur le lendemain ne compte pas. C’est là que la plupart des réponses se trompent, et ce n’est pas une question de calcul : c’est une question de ce qu’on décide de compter.
La seconde demande une heure exacte. Le point IX, c’est la quarante-cinquième minute du cadran. Dudeney ne demande pas « vers quelle heure », il écrit the exact time — et ce n’est pas une coquetterie de style. Si la réponse tombait sur un compte rond de minutes, il n’aurait pas insisté.
Pour attaquer, une seule idée suffit : savoir dire où se trouve chaque aiguille à un instant donné. Le repère commode est de compter les deux positions en « minutes du cadran », de 0 à 60 — l’aiguille des heures y avance alors douze fois moins vite que l’autre, et pas autrement. À partir de là, « les aiguilles ont échangé leurs places » cesse d’être une image et devient une phrase qu’on peut écrire. Le reste est à vous.
Ce que ce problème fait travailler
Tout tient dans un rapport : douze. L’aiguille des heures parcourt le cadran douze fois plus lentement que celle des minutes, et c’est la seule donnée physique du problème. Reconnaître une situation de proportionnalité là où l’énoncé parle d’horlogerie, c’est déjà l’essentiel du travail.
Ensuite viennent les fractions, et elles ne seront pas commodes. Une heure exacte, ici, ne s’écrit pas avec des minutes entières : il faudra assumer un dénominateur qui n’a rien d’engageant, et surtout ne pas le remplacer par une valeur approchée — c’est justement l’écart minuscule entre deux positions qui départage les réponses à la seconde question.
Et il y a une compétence plus rare, qui n’a pas de chapitre dans les programmes : dénombrer sans énumérer. On peut répondre à la première question en dressant la liste complète — c’est long, et on en oublie. On peut aussi trouver l’argument qui donne le compte d’un coup. Les deux chemins mènent au même nombre ; un seul apprend quelque chose.
À vous
Deux questions, deux réponses — et je ne les donne pas ici. Postez les vôtres en commentaire : combien d’échanges entre 15 h et minuit, et à quelle heure exacte l’aiguille des minutes frôle-t-elle le IX ? J’y mettrai les miennes, avec le détail du calcul, dans quelques jours.
Un indice, tout de même, pour ceux qui voudraient vérifier leur méthode avant de se lancer : la toute première paire de la journée commence à 3 h 21 et des poussières.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE.
Problème n° 61 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les deux réponses, comme promis.
1. Trente-six échanges. Comptons tout en « minutes du cadran », de 0 à 60, et appelons les deux instants « a h et p minutes » et « b h et q minutes ». L’aiguille des minutes du premier est en p, son aiguille des heures en 5a + p/12. L’échange demande que chacune prenne la place de l’autre :
5a + p/12 = q et 5b + q/12 = pDeux équations, deux inconnues. Il vient
p = (720b + 60a)/143etq = (720a + 60b)/143. Le 143 n’est pas un hasard : c’est 12² − 1, la trace du rapport douze entre les deux vitesses, et il ne nous quittera plus.Et voilà le dénombrement sans énumération. À chaque couple d’heures (a, b) correspond exactement un échange, et les deux valeurs trouvées sont toujours inférieures à 60 : aucun couple n’est perdu en route. Entre 15 h et minuit, les heures disponibles sont 3, 4, …, 11 — neuf valeurs — et il faut a < b, sinon les deux aiguilles se superposent et l'on ne lit qu'un seul instant au lieu de deux. Le compte est donc 8 + 7 + 6 + … + 1 = 36. Les huit cas a = b, ceux où les aiguilles se recouvrent, sont précisément ceux qu’une liste dressée à la main confond avec des échanges.
Contrôle avec l’indice de l’article : le couple (3, 4) donne p = 3060/143 = 21 + 57/143. La première paire commence bien à 3 h 21 et des poussières.
2. L’aiguille des minutes frôle le IX à 11 h 44 + 128/143 min, l’instant associé étant 8 h 58 + 106/143 min : c’est le couple (8, 11). L’aiguille des minutes est alors à 6420/143 minutes du cadran, c’est-à-dire à 15/143 de minute du IX — 90/143 de degré, moins de deux tiers de degré. Aucun des soixante-douze instants de la liste ne s’en approche davantage.
C’est ici que l’approximation tuerait la question : 44,9 minutes ou 45 minutes, cela ne veut plus rien dire. Dudeney écrivait the exact time, et il savait pourquoi.