Un ver a percé un tunnel rectiligne depuis la première page du tome I jusqu’à la dernière page du tome III. Quelle longueur a-t-il creusé ? Presque tout le monde répond faux, et se trompe d’un facteur trois.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Tout ce qu’il faut pour ne pas se tromper est sur la gravure.
On voit sur l’illustration notre ami le professeur Rackbrane en train de proposer une autre de ses petites colles. Il explique que, depuis la dernière fois qu’il a eu l’occasion de descendre ces trois volumes d’un savant ouvrage de leur place sur ses rayons, un ver de bibliothèque a effectivement percé un trou de part en part, de la première page à la dernière. Il précise que les feuillets font ensemble trois pouces d’épaisseur dans chaque volume, et que chaque plat de couverture fait exactement un huitième de pouce ; et il demande quelle longueur de tunnel le ver industrieux a eu à creuser pour préparer son nouveau chemin de fer souterrain. Sauriez-vous le lui dire ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Le professeur Rackbrane n’est pas un figurant. Il revient dans six problèmes du livre, toujours pour poser une colle à la cantonade. Son nom est un jeu de mots — rack your brains, se creuser la cervelle — et il appartient à toute une troupe que Dudeney promène de page en page : les grenouilles savantes, le club des Cogitateurs, Mrs Perkins et son édredon. Un recueil de casse-tête n’était pas une liste d’exercices, c’était un feuilleton avec des personnages, et l’on y revenait aussi pour eux.
Et voici ce qui rend ce problème unique dans tout le livre : sa réponse dépend d’une convention, pas d’un raisonnement. Elle tient entièrement à la façon dont on relie et dont on range les livres en Occident — le dos à gauche quand on tient l’ouvrage pour le lire. Un livre japonais en écriture verticale, ou un livre arabe, est relié de l’autre côté et se range dans l’autre sens : le même ver, sur la même étagère, ne creuserait pas la même longueur. C’est le seul problème de cette série dont la réponse change selon la culture de qui le lit.
Ce que le problème demande vraiment
Il ne demande pas de calculer, il demande de regarder. L’arithmétique tient en une addition de fractions que n’importe quel élève de sixième mène à bien. Toute la difficulté est en amont : savoir ce qu’il faut additionner. Et cela ne se trouve pas dans l’énoncé — cela se trouve sur une étagère.
Le piège n’est pas dans les mots, il est dans votre tête. Vous vous représentez trois livres et un ver qui les traverse tous les trois : c’est une image parfaitement claire, parfaitement naturelle, et parfaitement fausse. Aucune relecture attentive de l’énoncé ne vous en sortira, parce que l’énoncé ne ment pas. C’est votre modèle mental du problème qui est en défaut, et c’est bien plus difficile à corriger qu’une erreur de calcul.
Le remède est à trois mètres de vous. Levez-vous, allez à votre bibliothèque, prenez trois volumes qui se suivent, et posez le doigt sur la première page du premier. Regardez de quel côté elle se trouve. Vous aurez la réponse en dix secondes, et vous ne l’oublierez jamais — ce qui n’est pas le cas des réponses obtenues au crayon.
Ce que ce problème fait travailler
La modélisation, et rien d’autre. C’est le seul problème de la série où l’obstacle n’est ni le calcul, ni le raisonnement, ni la recherche, mais la fidélité de la représentation qu’on se fait de la situation. On en donne rarement d’aussi purs, et c’est pourtant l’erreur la plus fréquente devant un problème concret : on résout très correctement le problème qu’on a imaginé.
Accessoirement, une addition de fractions avec des huitièmes de pouce, ce qui ne fait de mal à personne — et un joli rappel que le monde a longtemps compté ainsi, en moitiés de moitiés de moitiés.
Et une leçon de méthode qu’aucun manuel ne donne : quand un énoncé décrit un objet réel, allez voir l’objet. Les mathématiques appliquées ne commencent pas par une équation, elles commencent par une observation — et celui qui ne l’a pas faite calcule dans le vide, si juste que soit son calcul.
À vous
- quelle longueur de tunnel ? Donnez d’abord la réponse qui vous vient, puis allez vérifier sur une étagère.
- et si l’ouvrage comptait dix volumes, le ver allant du premier au dernier ?
- la question de l’encart : et sur une étagère de livres japonais ?
En commentaire. Je serais curieux de savoir combien d’entre vous ont donné la première réponse sans se lever — je l’ai fait, moi aussi, avant de modéliser la chose proprement.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY.
Problème n° 420 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.