Un ver a percé un tunnel rectiligne depuis la première page du tome I jusqu’à la dernière page du tome III. Quelle longueur a-t-il creusé ? Presque tout le monde répond faux, et se trompe d’un facteur trois.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Tout ce qu’il faut pour ne pas se tromper est sur la gravure.
On voit sur l’illustration notre ami le professeur Rackbrane en train de proposer une autre de ses petites colles. Il explique que, depuis la dernière fois qu’il a eu l’occasion de descendre ces trois volumes d’un savant ouvrage de leur place sur ses rayons, un ver de bibliothèque a effectivement percé un trou de part en part, de la première page à la dernière. Il précise que les feuillets font ensemble trois pouces d’épaisseur dans chaque volume, et que chaque plat de couverture fait exactement un huitième de pouce ; et il demande quelle longueur de tunnel le ver industrieux a eu à creuser pour préparer son nouveau chemin de fer souterrain. Sauriez-vous le lui dire ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Le professeur Rackbrane n’est pas un figurant. Il revient dans six problèmes du livre, toujours pour poser une colle à la cantonade. Son nom est un jeu de mots — rack your brains, se creuser la cervelle — et il appartient à toute une troupe que Dudeney promène de page en page : les grenouilles savantes, le club des Cogitateurs, Mrs Perkins et son édredon. Un recueil de casse-tête n’était pas une liste d’exercices, c’était un feuilleton avec des personnages, et l’on y revenait aussi pour eux.
Et voici ce qui rend ce problème unique dans tout le livre : sa réponse dépend d’une convention, pas d’un raisonnement. Elle tient entièrement à la façon dont on relie et dont on range les livres en Occident — le dos à gauche quand on tient l’ouvrage pour le lire. Un livre japonais en écriture verticale, ou un livre arabe, est relié de l’autre côté et se range dans l’autre sens : le même ver, sur la même étagère, ne creuserait pas la même longueur. C’est le seul problème de cette série dont la réponse change selon la culture de qui le lit.
Ce que le problème demande vraiment
Il ne demande pas de calculer, il demande de regarder. L’arithmétique tient en une addition de fractions que n’importe quel élève de sixième mène à bien. Toute la difficulté est en amont : savoir ce qu’il faut additionner. Et cela ne se trouve pas dans l’énoncé — cela se trouve sur une étagère.
Le piège n’est pas dans les mots, il est dans votre tête. Vous vous représentez trois livres et un ver qui les traverse tous les trois : c’est une image parfaitement claire, parfaitement naturelle, et parfaitement fausse. Aucune relecture attentive de l’énoncé ne vous en sortira, parce que l’énoncé ne ment pas. C’est votre modèle mental du problème qui est en défaut, et c’est bien plus difficile à corriger qu’une erreur de calcul.
Le remède est à trois mètres de vous. Levez-vous, allez à votre bibliothèque, prenez trois volumes qui se suivent, et posez le doigt sur la première page du premier. Regardez de quel côté elle se trouve. Vous aurez la réponse en dix secondes, et vous ne l’oublierez jamais — ce qui n’est pas le cas des réponses obtenues au crayon.
Ce que ce problème fait travailler
La modélisation, et rien d’autre. C’est le seul problème de la série où l’obstacle n’est ni le calcul, ni le raisonnement, ni la recherche, mais la fidélité de la représentation qu’on se fait de la situation. On en donne rarement d’aussi purs, et c’est pourtant l’erreur la plus fréquente devant un problème concret : on résout très correctement le problème qu’on a imaginé.
Accessoirement, une addition de fractions avec des huitièmes de pouce, ce qui ne fait de mal à personne — et un joli rappel que le monde a longtemps compté ainsi, en moitiés de moitiés de moitiés.
Et une leçon de méthode qu’aucun manuel ne donne : quand un énoncé décrit un objet réel, allez voir l’objet. Les mathématiques appliquées ne commencent pas par une équation, elles commencent par une observation — et celui qui ne l’a pas faite calcule dans le vide, si juste que soit son calcul.
À vous
- quelle longueur de tunnel ? Donnez d’abord la réponse qui vous vient, puis allez vérifier sur une étagère.
- et si l’ouvrage comptait dix volumes, le ver allant du premier au dernier ?
- la question de l’encart : et sur une étagère de livres japonais ?
En commentaire. Je serais curieux de savoir combien d’entre vous ont donné la première réponse sans se lever — je l’ai fait, moi aussi, avant de modéliser la chose proprement.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS.
Problème n° 420 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — et la troisième réserve une surprise.
1. Trois pouces et demi. Pas neuf et demi. Tout se joue sur une observation que personne ne fait avant de calculer : rangez trois volumes dans l’ordre, dos vers vous, et regardez où se trouvent réellement les pages extrêmes. Le tome I est à gauche, mais sa première page est contre son plat avant, donc du côté droit — contre le tome II. Le tome III est à droite, mais sa dernière page est contre son plat arrière, donc du côté gauche — contre le tome II lui aussi. Les deux pages que le ver relie sont voisines, et tout le tome I comme tout le tome III sont derrière lui, hors du trajet.
Le tunnel traverse donc quatre couvertures — le plat avant du tome I, les deux du tome II, le plat arrière du tome III — soit
4 × 1/8 = 1/2pouce, plus les seuls feuillets du tome II,3pouces. Total : 3 pouces et demi. Dudeney le dit sans ménagement : « le lecteur pressé supposera que le ver doit traverser les trois volumes et quatre couvertures » — ce qui donne neuf pouces et demi, « fort loin de la bonne réponse ».2. Dix volumes : vingt-six pouces et un quart. Le même raisonnement, en plus grand. Le ver part de la première page du tome I, qui est toujours contre le tome II, et s’arrête à la dernière page du tome X, qui est contre le tome IX. Il traverse donc les huit volumes intermédiaires en entier —
8 × 3 = 24pouces de feuillets et leurs seize couvertures — plus le plat avant du tome I et le plat arrière du tome X. Soit dix-huit couvertures,18 × 1/8 = 2 + 1/4pouces, et24 + 2 + 1/4 = 26 + 1/4pouces. La règle générale, pournvolumes : les feuillets den − 2volumes, et2n − 2couvertures. Les deux volumes qui portent les pages extrêmes ne sont jamais traversés — seulement effleurés par une couverture chacun.3. Les livres japonais : la même réponse, et c’est le plus joli. Un ouvrage japonais traditionnel se lit de droite à gauche : sa reliure est à droite, et sur l’étagère on range le tome I à droite, le tome III à gauche. Tout est inversé — mais tout, y compris le sens de rangement. La première page du tome I se retrouve contre le tome II, la dernière du tome III également, et le ver creuse exactement les mêmes trois pouces et demi. Le paradoxe ne tient pas au sens de lecture : il tient à l’accord entre le sens de la reliure et le sens du rangement.
Et voici la surprise. Prenez maintenant trois volumes japonais et rangez-les à l’occidentale, tome I à gauche. Les deux conventions se contredisent, les pages extrêmes basculent vers l’extérieur, et le ver doit traverser les feuillets des trois volumes plus quatre couvertures : neuf pouces et demi. Autrement dit, la réponse que presque tout le monde donne sans se lever est parfaitement exacte — mais pour une étagère que personne n’a jamais vue. Ce n’était pas une erreur de calcul, c’était une erreur d’étagère.
Le mot de la fin, qui est une leçon de méthode. Rien dans ce problème ne dépasse l’addition de quelques huitièmes de pouce. Ce qui sépare les deux réponses, c’est uniquement d’avoir regardé l’objet avant de calculer. Et je ne fais pas la leçon : j’ai donné la mauvaise réponse en premier, moi aussi.