Quinze enfants, nés à un an et demi d’intervalle. L’aînée déclare être « sept fois plus âgée » que le dernier. Quel âge a-t-elle ? Dudeney ajoute lui-même : « ne vous hâtez pas trop de croire que vous avez résolu cette petite colle. »
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Il tient en quatre phrases, dont une est un avertissement.
M. et Mme Jorkins ont quinze enfants, tous nés à un an et demi d’intervalle. Mlle Ada Jorkins, l’aînée, répugnait à déclarer son âge à l’agent recenseur, mais elle admit qu’elle était juste sept fois plus âgée que le petit Johnnie, le dernier de tous. Quel était l’âge d’Ada ? Ne vous hâtez pas trop de croire que vous avez résolu cette petite colle. Vous pourriez découvrir que vous avez commis une belle bévue !
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
D’abord un aveu, parce que cette série repose sur des documents. La feuille de recensement ci-dessus n’existe pas : je l’ai dessinée. J’ai vérifié le livre entier — la section des âges et parentés compte dix-sept problèmes et pas une seule illustration. Ces énoncés-là n’en avaient pas besoin, et l’éditeur avait des gravures à payer. Plutôt que de renoncer à toute une famille de problèmes, j’ai composé une planche dans l’esprit des autres. Elle est fabriquée, elle le restera, et ce sera dit chaque fois.
Ensuite le vrai sujet, qui n’est pas mathématique. Tout se joue sur « sept fois plus âgée ». Pour un lettré victorien, la formule était sans ambiguïté : plus âgé de sept fois son âge, donc huit fois autant. Dudeney en fait le ressort de son problème, et son corrigé s’agace : « il est surprenant de voir combien de gens supposent hâtivement que c’est la même chose que sept fois autant. Certains des meilleurs auteurs ont commis cette bévue. » Un siècle plus tard, l’usage a basculé : demandez autour de vous, presque personne n’entend plus autre chose que « sept fois autant ». Le reproche de Dudeney tombe désormais sur la majorité — et sur les dictionnaires.
Ce que le problème demande vraiment
Une seule donnée fait tout le travail : l’écart. Quinze enfants à un an et demi d’intervalle, cela fixe une fois pour toutes de combien d’années l’aînée devance le dernier — et cet écart ne changera plus jamais, quel que soit le temps qui passe. C’est la seule chose que les quinze enfants apportent au problème ; le reste est du décor.
Et voici ce qui rend le piège redoutable : les deux lectures de la phrase d’Ada donnent chacune une réponse parfaitement propre. Pas de fraction monstrueuse, pas d’âge négatif, rien qui permette de dire « ce n’est pas ça ». L’arithmétique ne tranchera pas à votre place. Vous obtiendrez deux âges plausibles pour Ada, séparés d’une demi-année, et il faudra choisir — non pas en calculant, mais en décidant ce que la phrase veut dire.
C’est donc un problème dont la réponse dépend de l’époque où on le lit. Celle de 1917 n’est pas celle de 2026, et aucune des deux n’est fautive : c’est la langue qui a bougé sous le problème. Rare, et instructif — un énoncé mathématique n’est jamais entièrement à l’abri des mots qui le portent.
Ce que ce problème fait travailler
La mise en équation d’un énoncé où tout est dit en français : un écart constant, un rapport entre deux âges, et deux inconnues. Trois lignes suffisent — à condition d’avoir traduit correctement la phrase, ce qui est ici l’essentiel du travail.
Ensuite, une notion que les élèves confondent sans arrêt et que ce problème sépare proprement : l’écart et le rapport. L’écart d’âge entre deux personnes ne bouge jamais ; le rapport de leurs âges, lui, change tous les jours et tend vers 1. Ada a été cent fois plus âgée que Johnnie, elle ne le sera plus jamais. Beaucoup de problèmes d’âges ne reposent que sur cette distinction.
Et une leçon de vocabulaire dont on aurait tort de sourire : « plus » et « fois » ne se combinent pas innocemment. « Deux fois plus grand », « trois fois moins cher », « augmenter de 200 % » — chacune de ces tournures fait trébucher quelqu’un chaque jour, dans un journal ou dans une copie. Dudeney en a fait un casse-tête ; on pourrait en faire un cours entier.
À vous
- donnez les deux réponses, celle de Dudeney et celle d’aujourd’hui.
- laquelle défendez-vous ? Et surtout : comment auriez-vous écrit la phrase d’Ada pour qu’elle ne prête à aucune discussion ?
- et une variante pour la route : combien de temps faudrait-il attendre pour qu’Ada n’ait plus que le double de l’âge de Johnnie ?
En commentaire. La deuxième question m’intéresse plus que la première — c’est celle qu’on devrait poser aux élèves avant de leur demander de résoudre quoi que ce soit.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS.
Problème n° 44 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Ce problème n’a pas d’illustration dans le livre ; la planche ci-dessus a été composée pour cette série. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.