Un carré de neuf cases, toutes les lignes à 15, et un 8 imposé au milieu du haut. Vous allez essayer dix minutes, puis vous allez conclure que c’est impossible. Vous aurez raison — et tort.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Pesez chaque mot : il n’y en a pas un qui soit là par hasard.
Presque tout le monde sait qu’un « carré magique » est une disposition de nombres en forme de carré, telle que chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux grandes diagonales donnent la même somme. Par exemple, vous n’auriez guère de difficulté à placer simplement un nombre différent dans chacune des neuf cases de l’illustration, de façon que les lignes, les colonnes et les diagonales fassent toutes 15. Et à votre premier essai, vous trouverez probablement que vous avez un 8 dans l’un des coins. Le casse-tête consiste à construire le carré magique, dans les mêmes conditions, avec le 8 à la place indiquée.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Le carré magique d’ordre 3 est unique, et c’est pour cela que le 8 vous résiste. J’ai fait la vérification : avec les chiffres de 1 à 9, il existe exactement huit carrés magiques — et ce sont les huit images d’un seul, par rotation et symétrie. Un seul carré, donc, vu sous huit angles. Or dans chacune de ces huit images, le 8 occupe un coin. Toujours. C’est le plus vieux carré magique du monde, celui que la Chine appelle le Lo Shu et connaît depuis plus de deux mille ans, et il n’a pas d’autre façon d’être.
Une propriété que tout le monde peut vérifier et que presque personne ne connaît : quels que soient les nombres employés, la case du centre vaut toujours le tiers de la somme magique, et deux cases symétriques par rapport au centre totalisent toujours le double du centre. Ici : 5 au milieu, et des paires qui font 10. Ce n’est pas une particularité des chiffres 1 à 9, c’est une conséquence forcée des huit équations. Autrement dit, deux cases bien choisies déterminent les neuf. Voilà l’outil ; le reste est une question de lecture.
Ce que le problème demande vraiment
Relisez l’énoncé et cherchez-y les chiffres de 1 à 9. Ils n’y sont pas. Dudeney écrit « un nombre différent dans chacune des neuf cases » — un nombre différent, pas un chiffre, et nulle part il ne dit lesquels. C’est vous qui avez ajouté cette condition en lisant, parce que le carré magique de votre enfance était celui-là. Presque tous les échecs devant ce problème viennent de là : on se donne une contrainte que personne n’a posée, puis on démontre très correctement que la chose est impossible.
Et l’impossibilité, elle, est bien réelle — sous certaines lectures. J’ai vérifié les quatre qui se présentent naturellement. Avec les chiffres de 1 à 9 : impossible. Avec des entiers strictement positifs, tous différents : impossible aussi, et cela se démontre en quatre lignes une fois qu’on a l’outil de l’encart. Mais dès qu’on desserre un peu la définition du mot « nombre », la porte s’ouvre. Le problème n’est donc pas de calculer : il est de décider de quoi l’on parle.
C’est un cas d’école, et il vaut mieux qu’un long discours sur la rigueur : un énoncé mathématique doit dire dans quel ensemble il travaille. Celui-ci ne le dit pas — délibérément. Toute la difficulté est dans ce silence.
Ce que ce problème fait travailler
Une chose rare et précieuse : lire un énoncé pour ce qu’il dit, et non pour ce qu’on croit qu’il dit. C’est l’erreur la plus fréquente en classe, et la plus difficile à corriger, parce qu’elle ne ressemble pas à une erreur : l’élève raisonne juste, il raisonne simplement sur un autre problème que celui qui est posé.
Ensuite, un vrai petit système d’équations. Huit conditions, neuf inconnues : il reste des degrés de liberté, et c’est précisément ce qui laisse de la place. Poser les équations plutôt que remplir les cases au hasard change complètement la nature du travail — on passe du tâtonnement à la description de toutes les solutions d’un coup.
Enfin une question de vocabulaire qu’on croit réglée : qu’est-ce qu’un nombre entier ? Selon qu’on y range ou non le zéro et les nombres négatifs, ce problème-ci ne reçoit pas la même réponse — je l’ai vérifié, et l’écart est net. Les mathématiques ne tolèrent pas ce flou-là, et il n’y a pas de meilleure occasion de le faire sentir qu’un carré de neuf cases où tout se joue sur un mot.
À vous
- construisez le carré, avec le 8 là où la gravure le met ;
- démontrez qu’avec neuf entiers strictement positifs tous différents, c’est impossible ;
- et la question qui m’a occupé le plus longtemps : si l’on s’autorise le zéro et les nombres négatifs, cela redevient-il possible ?
En commentaire. La deuxième question se traite entièrement à la main et ne demande que quatre cas ; la troisième a une réponse que Dudeney ne mentionne pas, et qui montre que sa formulation était un cran moins précise qu’il ne le croyait. J’y reviens dans quelques jours.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE.
Problème n° 399 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.