Lancez trois dés, je ne regarde pas. Faites un petit calcul, donnez-moi le résultat, et je vous dis vos trois dés. Ce tour marche à tous les coups, il tient en une ligne, et vous pourrez le faire ce soir à table.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Suivez bien la suite des opérations : tout est là.
Voici un joli petit tour avec trois dés. Je vous demande de lancer les dés sans que je les voie. Puis je vous dis de multiplier les points du premier dé par 2 et d’ajouter 5 ; ensuite de multiplier le résultat par 5 et d’ajouter les points du deuxième dé ; ensuite de multiplier le résultat par 10 et d’ajouter les points du troisième dé. Vous me donnez alors le total, et je puis vous dire aussitôt les points amenés par les trois dés. Comment fais-je ? Par exemple, si vous avez amené 1, 3 et 6, comme sur l’illustration, le résultat que vous me donneriez serait 386, à partir duquel je pourrais dire immédiatement ce que vous avez lancé.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Regardez le numéro du problème. L’exemple choisi par Dudeney, le lancer 1-3-6, donne le total 386. Et ce problème est le n° 386 du livre. Coïncidence ou clin d’œil d’un homme qui a passé sa vie à arranger des nombres, je n’en sais rien et je ne vois pas comment le savoir — mais elle est trop belle pour ne pas être signalée. Il faudrait, pour l’avoir voulu, avoir calé la numérotation de quatre cent trente problèmes sur celui-là.
Et ce tour de société est exactement ce que vos élèves appellent un programme de calcul. Prends un nombre, multiplie par 2, ajoute 5, multiplie par 5… La seule différence est qu’ici on ne demande pas le résultat mais le chemin inverse : retrouver le point de départ à partir de l’arrivée. C’est le même objet, retourné — et c’est de loin la meilleure raison qu’on puisse donner à un enfant d’apprendre à manipuler des lettres. Un siècle plus tard, on en fabrique encore, par centaines, sur les programmes de calcul et le nombre pensé.
Ce que le problème demande vraiment
La question n’est pas « quelle est la réponse » mais « pourquoi ça marche ». Dudeney ne vous demande pas de deviner un lancer : il vous demande de comprendre la mécanique de son tour. C’est un renversement complet par rapport aux autres problèmes du livre, et il en fait un excellent exercice de classe : on peut le faire fonctionner sans rien comprendre, et c’est justement ce qui donne envie de comprendre.
La méthode tient en deux lancers. Faites tourner le calcul avec 1-1-1, puis avec 2-1-1, et comparez les deux totaux. Puis avec 1-2-1. Puis avec 1-1-2. En quatre essais vous saurez exactement ce que chaque dé apporte au résultat final — et vous n’aurez même pas eu besoin d’écrire une lettre. Ceux qui préfèrent les lettres iront plus vite encore.
Un détail qui n’en est pas un : le tour doit être infaillible. Il ne suffit pas que la méthode marche sur l’exemple donné ; il faut que deux lancers différents ne puissent jamais donner le même total, sans quoi le magicien se trompe un soir sur deux. J’ai passé les 216 lancers possibles en revue : les 216 totaux sont bel et bien distincts, et ils s’échelonnent de 361 à 916. Le tour est donc sûr — mais ce n’était pas gratuit, et c’est ce que le choix des nombres 2, 5, 5, 10 assure.
Ce que ce problème fait travailler
Le calcul littéral dans son emploi le plus convaincant. Appelez les trois dés par des lettres, déroulez les quatre opérations sans jamais rien remplacer par un nombre, et le mystère se dissipe tout seul en trois lignes. Aucun discours sur l’utilité des lettres ne vaut ce moment-là.
Ensuite la numération de position, qu’on croit acquise en CE2 et qui est en réalité le ressort de tout le tour. Multiplier par dix, c’est décaler ; ajouter un chiffre inférieur à dix, c’est le loger dans la case qu’on vient de libérer. Le magicien ne devine rien : il lit un nombre écrit en clair, à un décalage près.
Et enfin, le meilleur exercice de tous : en inventer un. Une fois la mécanique comprise, rien n’empêche de fabriquer son propre tour, avec d’autres nombres, d’autres opérations, un dé de plus. C’est le passage du statut de spectateur à celui d’auteur, et il se fait ici en une demi-heure.
À vous
- comment fait-il ? Et pourquoi ces nombres-là — 2, 5, 5 et 10 — plutôt que d’autres ?
- construisez la version à quatre dés. Quelle suite d’opérations dicteriez-vous ?
- et pour les rôlistes : le même tour avec des dés à dix faces, numérotés de 0 à 9. Il y a un piège, et il est joli.
En commentaire. Celui-ci se teste en famille avant de se comprendre — c’est probablement le seul problème de la série dont vous tirerez un effet le soir même.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE.
Problème n° 386 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.