Une rondelle de pomme de terre, un couteau, six coups. Combien de morceaux ? Pour une fois, la gravure ne donne pas la réponse : elle donne un mauvais exemple.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Quatre phrases, et la dernière est un défi.
Prenez une rondelle circulaire de pomme de terre, posez-la sur la table, et voyez en combien de morceaux vous pouvez la diviser avec six coups de couteau. Bien entendu, vous ne devez pas réajuster les morceaux ni les empiler après un coup. Quel est le plus grand nombre de morceaux que vous puissiez faire ? L’illustration montre comment en faire seize. Cela peut, évidemment, être facilement battu.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
La gravure est un leurre, et c’est unique dans le livre. Ailleurs, l’illustration montre la position à étudier ou la figure à comprendre. Ici elle montre un échec : seize morceaux, six coups, et l’auteur qui vous glisse en passant que « cela peut évidemment être facilement battu ». Regardez comment les traits sont tirés — trois dans un sens, trois dans l’autre, bien parallèles, comme un quadrillage de cahier. J’ai vérifié ce que valent ces seize morceaux : c’est exactement ce qu’on obtient au mieux avec cinq coups. Le sixième coup du dessin ne sert rigoureusement à rien.
Et dans sa solution, Dudeney cite son rival. Il prolonge le problème vers un fromage à découper en trois dimensions, « l’un des problèmes proposés par feu M. Sam Loyd ». Les deux hommes s’écrivaient depuis 1893 et ont collaboré un temps dans un hebdomadaire londonien ; puis Dudeney a accusé Loyd de republier ses casse-tête sous son propre nom, et l’une de ses filles a raconté un père « bouillant de rage » qui, désormais, tenait Sam Loyd pour le diable en personne. Loyd est mort en 1911. Dans ce livre de 1917, Dudeney le nomme onze fois — toujours courtoisement, toujours « feu M. Sam Loyd ». Les rancunes survivent à ceux qui les inspirent.
Les programmes sont publics, avec de quoi refaire le calcul : github.com/w0uf/retro-maths-dudeney. Attention, les solutions y sont données.
Ce que le problème demande vraiment
La règle interdit la triche la plus tentante. On ne déplace pas les morceaux, on ne les empile pas : la rondelle reste posée à plat et chaque coup traverse tout ce qu’il rencontre. Sans cette clause, il suffirait d’empiler pour doubler à chaque fois, et il n’y aurait plus de problème.
La bonne question n’est pas « où couper » mais « que rapporte un coup ». Posez le couteau une première fois : deux morceaux. Une deuxième : cela dépend. Si le second trait croise le premier, vous gagnez plus que s’il lui est parallèle. C’est là, et nulle part ailleurs, que se joue le problème — et c’est pour cela que le quadrillage du dessin est si mauvais.
Alors comptez ce qui se croise. Six traits, cela fait un certain nombre de paires — et chaque paire peut se croiser à l’intérieur de la rondelle, ou pas. Reste à savoir si l’on peut vraiment faire en sorte qu’elles se croisent toutes, et si deux croisements peuvent tomber au même endroit sans qu’on y perde. Deux questions de géomètre, et la réponse au casse-tête est de l’autre côté.
Ce que ce problème fait travailler
Le raisonnement par récurrence, dans sa forme la plus concrète : au lieu de dessiner six traits d’un coup, demandez-vous ce que le n-ième apporte à ce qui existe déjà. Il entre dans la rondelle, rencontre les traits précédents, et chaque rencontre le découpe en tronçons — dont chacun coupe en deux une région existante. Compter les tronçons, c’est compter les morceaux gagnés. Tout le problème se réduit à cette phrase, et c’est un excellent premier contact avec une idée qu’on croit réservée au lycée.
C’est aussi un exercice de dénombrement honnête : on ne compte pas en regardant, on compte en organisant. Celui qui numérote les morceaux sur son dessin, comme le fait la gravure, comptera juste une fois et se trompera la suivante. Celui qui a compris ce qu’apporte un trait n’a plus besoin de dessiner du tout.
Enfin, il y a une leçon de méthode dans la phrase de Dudeney : « cela peut être facilement battu ». Un problème d’optimisation ne se termine jamais sur une solution trouvée. Il se termine quand on peut dire pourquoi il n’y en a pas de meilleure.
À vous
- combien de morceaux au maximum, avec six coups ?
- et avec n coups ? Dudeney donne une formule dans sa solution.
- le bonus de Sam Loyd : cette fois c’est un fromage, le couteau traverse de part en part, et l’on compte les morceaux en volume. Combien avec n coups ?
En commentaire. Et pendant que vous y êtes, allez donc vérifier la formule que Dudeney imprime : j’ai trouvé quelque chose d’amusant en la testant sur de petits nombres. Je le dirai dans quelques jours.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF.
Problème n° 164 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — vingt-deux morceaux, et une formule qui donne des moitiés.
1. Vingt-deux morceaux. Six de plus que la gravure. La règle de Dudeney tient en une phrase : chaque coup doit croiser tous les autres à l’intérieur de la rondelle, et jamais trois traits au même point.
Pourquoi vingt-deux, et pas davantage. Regardez ce que rapporte un coup. Le premier fait deux morceaux. Le deuxième, s’il croise le premier, est partagé en deux tronçons, et chaque tronçon coupe un morceau en deux : deux de plus. Le troisième croise au mieux les deux précédents : trois tronçons, trois morceaux de plus. Le coup numéro k ne peut pas croiser plus de k − 1 traits, donc il n’apporte jamais plus de k morceaux. D’où le compte :
1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22.Il y a une autre façon de le dire, plus commode : le nombre de morceaux vaut toujours un, plus le nombre de traits, plus le nombre de croisements à l’intérieur de la rondelle. Six traits forment quinze paires ; si toutes se croisent,
1 + 6 + 15 = 22.Ce que vaut la gravure. La même formule explique son échec. Trois traits dans un sens, trois dans l’autre : les traits parallèles ne se croisent pas, et il ne reste que
3 × 3 = 9croisements.1 + 6 + 9 = 16. Six croisements perdus, six morceaux perdus. Seize, c’est ce que cinq coups bien donnés suffisent à produire.Comment tracer les six coups. Marquez douze points sur le bord de la rondelle et joignez chaque point à celui d’en face, le sixième en comptant : chaque corde laisse cinq extrémités de chaque côté, elle croise donc les cinq autres. Si vos points sont régulièrement espacés, les six cordes passent toutes par le centre et vous n’obtenez que douze parts de tarte : décalez-les un peu, pour que trois traits ne se rencontrent jamais au même endroit.
2. Avec n coups — et la chose amusante. Le compte ci-dessus donne
n(n + 1)/2 + 1morceaux : 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29… Or la formule qu’on lit dans le corrigé de Dudeney est écrite(n(n + 1) + 1)/2. Essayez-la : avec un coup, elle donne un morceau et demi ; avec deux, trois et demi ; avec six, vingt et un et demi. Le produit n(n + 1) est toujours pair, donc on y divise toujours un nombre impair par deux : la formule imprimée ne tombe jamais sur un nombre entier. Le « + 1 » a glissé du mauvais côté de la barre de fraction. La réponse de la première ligne, vingt-deux, est juste ; c’est la formule censée la justifier qui ne la donne pas.3. Le fromage de Sam Loyd. Ici la formule du livre est la bonne :
(n − 1)n(n + 1)/6 + n + 1. Elle donne 2, 4, 8, 15, 26 et, pour six coups, 42 morceaux. Le raisonnement est le même, un étage plus haut : le plan numéro k est découpé par les k − 1 précédents exactement comme une rondelle par k − 1 traits, et chaque région de ce plan coupe un morceau de fromage en deux. Le nouveau coup rapporte donc autant de morceaux qu’il y en avait dans la rondelle un coup plus tôt.Un détail à remarquer : jusqu’à trois coups, le fromage double à chaque fois — 2, 4, 8. Au quatrième, on attend seize et l’on n’en trouve que quinze. C’est le moment où le couteau ne peut plus traverser tous les morceaux à la fois.