Quinze cailloux sur le sable. Chacun en prend à son tour un, deux ou trois. Quand il n’en reste plus, celui qui en détient un nombre impair a gagné. La règle tient en deux lignes, le matériel se ramasse sur la plage, et la stratégie gagnante n’est pas du tout celle à laquelle vous pensez.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Dudeney le range dans ses jeux-casse-tête, une catégorie qu’il définit lui-même avec une netteté remarquable : « si nous pouvions maîtriser les complexités du jeu d’échecs au point d’être assurés de toujours gagner, alors il cesserait d’être un jeu et deviendrait un casse-tête ». Un jeu dont on connaît la stratégie gagnante n’est plus un jeu : c’est un problème résolu, qu’on peut encore proposer à qui ne le sait pas.
Voici un petit jeu-casse-tête amusant auquel j’avais coutume de jouer avec une connaissance, sur la plage de Slocomb-on-Sea. Deux joueurs disposent entre eux un nombre impair de cailloux, disons quinze. Chacun en prend ensuite à son tour un, deux ou trois, à son choix, et le gagnant est celui qui en obtient un nombre impair. Ainsi, si vous en avez sept et votre adversaire huit, vous gagnez ; si vous en avez six et lui neuf, c’est lui qui gagne. Est-ce le premier ou le second joueur qui devrait l’emporter, et comment ? Quand vous aurez réglé la question avec quinze cailloux, recommencez avec, disons, treize.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Son corrigé se termine par une phrase qui ressemble à un théorème, et c’en est un. « Les seuls nombres avec lesquels le premier joueur doit perdre sont 5, et les multiples de 8 ajoutés à 5 : 13, 21, 29, etc. » J’ai fait tourner l’analyse complète du jeu, en remontant depuis la fin, pour tous les tas impairs jusqu’à deux cents : les positions perdantes pour celui qui commence sont exactement 5, 13, 21, 29, 37… — les nombres qui laissent 5 comme reste dans la division par 8, tous, et rien d’autre. Pas une exception en vingt-cinq cas. Pour un résultat énoncé sans un mot de démonstration et sans machine, c’est une belle pièce.
Et sa règle de poche pour quinze cailloux tient debout elle aussi. Il donne six positions à viser — trois quand on détient un nombre impair, trois quand on en détient un nombre pair — et les six sont vérifiées, une par une. Une chose pourtant qu’il ne dit pas et qui mérite de l’être : à quinze cailloux, le bon premier coup est unique. En prendre deux gagne ; en prendre un ou trois perd. Il écrit « le premier joueur gagne s’il commence par en prendre deux », sans préciser qu’il n’avait pas le choix. (La planche ci-dessus est composée, le livre ne donnant pas de gravure pour ce problème.)
Ce que le problème demande vraiment
Ce n’est pas le jeu que vous croyez connaître. Dans la version classique — prendre un, deux ou trois jetons, celui qui prend le dernier gagne — la stratégie est connue de tous les colonies de vacances : il faut laisser à l’adversaire un multiple de quatre, et le reste suit tout seul — c’est le jeu des allumettes que tout le monde a pratiqué. Ici le but a changé : on ne cherche pas à prendre le dernier caillou, on cherche à finir avec une récolte impaire. Le même matériel, la même règle de prise, et une stratégie entièrement différente. Essayez d’abord l’ancienne méthode, vous perdrez proprement.
Ce qu’il faut comprendre d’abord, c’est qu’une position n’est pas un nombre. Tant qu’on ne regarde que le tas, on ne peut rien décider : deux parties avec le même nombre de cailloux restants ne se valent pas si l’un des joueurs en détient sept et l’autre huit. La position, ici, c’est un couple : ce qui reste sur le sable, et la parité de ce que j’ai déjà ramassé. C’est la moitié du travail, et c’est la moitié que les élèves ne font jamais : décrire l’état avant de chercher le coup.
Ensuite, on remonte depuis la fin. La dernière position est évidente : tas vide, on regarde sa parité, c’est joué. De là, une position est perdante si tous les coups qu’elle permet mènent l’adversaire à une position gagnante ; elle est gagnante s’il en existe un seul qui le mène à une position perdante. On déroule à l’envers, du tas vide vers le tas plein. Cette méthode-là — l’analyse rétrograde — ne demande aucune astuce, seulement de l’ordre, et elle vient à bout de tous les jeux de ce genre.
Et pourquoi huit ? Parce que deux compteurs tournent en même temps. Le tas d’abord : prendre un, deux ou trois cailloux ramène les mêmes situations tous les quatre — c’est le multiple de quatre du jeu classique. La parité de sa propre récolte ensuite, qui bascule à chaque prise impaire. Deux horloges superposées, qui ne se remettent pas d’aplomb au même instant : le motif complet met huit cailloux à se reformer, et non quatre. Le 8 de Dudeney n’est pas tombé du ciel — mais le démontrer proprement est un joli exercice, et je vous le laisse plus bas.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord les restes : « laisse 5 dans la division par 8 » est une phrase de collège, et c’est ici une stratégie gagnante, ce qui change tout pour l’élève à qui on demande d’habitude de calculer des restes pour rien. Le terrain naturel est celui des multiples et diviseurs.
Ensuite la parité, pas comme propriété d’un nombre mais comme information à suivre en cours de route. C’est l’un des rares jeux où l’on doit tenir deux comptes à la fois, et c’est exactement ce qui le rend formateur : on y apprend qu’un état se décrit par plusieurs nombres.
Et enfin c’est une activité de classe sans préparation : quinze jetons, on joue par deux, on note qui gagne, on essaie avec treize, avec onze, avec neuf, et l’on cherche ensemble la règle. Les autres jeux du site sont sur la page Jeux mathématiques, et les problèmes de stratégie sur Problèmes et activités.
À vous
- à quinze cailloux : quel est le bon premier coup, et pourquoi n’y en a-t-il qu’un seul ?
- à treize, c’est le second joueur qui gagne. Quelle est sa réponse à chacun des trois coups possibles ?
- et la question qui vaut le détour : pourquoi la liste des tas perdants avance-t-elle de huit en huit, et pas de quatre en quatre ?
Quinze cailloux, quinze pièces de monnaie, quinze allumettes : tout fait l’affaire, et une partie dure une minute. En commentaire, avec votre stratégie — celle de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF, A CALENDAR PUZZLE, THE BURMESE PLANTATION, A CHESSBOARD FALLACY.
Problème n° 392 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. La planche de cet article n’en fait pas partie : elle a été composée en 2026, le livre ne donnant aucune illustration pour ce problème. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.