Douze timbres en planche de trois sur quatre. Un ami vous en demande quatre, d’un seul tenant — pas de timbre accroché par un simple coin. De combien de façons pouvez-vous les détacher ? Ce n’est que du comptage, et c’est exactement le problème.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. La première phrase donne le ton, et la dernière est une provocation.
« C’est simple comme de compter », dit-on parfois. Mais le simple comptage peut être déroutant à l’occasion. Prenez l’exemple tout simple que voici. Supposez que vous venez d’acheter douze timbres-poste, sous cette forme — trois sur quatre — et qu’un ami vous demande de l’obliger de quatre timbres, tous tenant ensemble — aucun timbre ne devant pendre par un simple coin. De combien de façons différentes vous est-il possible de détacher ces quatre timbres ? Vous voyez, vous pouvez lui donner 1, 2, 3, 4, ou 2, 3, 6, 7, ou 1, 2, 3, 6, ou 1, 2, 3, 7, ou 2, 3, 4, 8, et ainsi de suite. Saurez-vous compter le nombre de façons différentes dont ces quatre timbres pourraient être remis ? Il n’y en a guère plus d’une cinquantaine, ce n’est donc pas un gros comptage.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Ces formes-là, tout le monde les connaît aujourd’hui — mais elles n’avaient pas de nom en 1917. Quatre carrés collés par les côtés : c’est ce qu’on appelle un tétromino, et ce sont les pièces de Tetris. Combien en existe-t-il ? La question n’a pas une réponse unique — Tetris en compte sept, parce qu’on n’y a pas le droit de retourner une pièce, seulement de la faire pivoter. Si l’on s’autorise aussi le retournement, il y en a moins ; à vous de voir lesquelles se confondent. Le mot « polyomino » n’a été forgé qu’en 1953, par le mathématicien américain Solomon Golomb ; le jeu vidéo est de 1984. Dudeney, lui, les compte et les classe en 1917 sans disposer du moindre vocabulaire pour les désigner — il les décrit en donnant des numéros de timbres.
Et sa classification est exactement la bonne. J’ai refait le comptage par ordinateur, forme par forme, en identifiant chaque groupe de quatre timbres à rotation et retournement près : le nombre de silhouettes obtenues, et le nombre de placements de chacune, correspondent au détail que donne Dudeney dans sa solution — jusqu’au dernier chiffre. Il n’a pas compté au hasard : il a trié d’abord, compté ensuite. C’est toute la différence entre un dénombrement et une liste.
Les programmes sont publics, avec de quoi refaire le calcul : github.com/w0uf/retro-maths-dudeney. Attention, les solutions y sont données.
Ce que le problème demande vraiment
« Aucun timbre ne doit pendre par un simple coin » est toute la difficulté. Deux timbres qui ne se touchent que par un angle ne tiennent pas ensemble : on ne les détacherait pas d’une pièce. Cette clause exclut par exemple le groupe 1, 2, 7, 8 en diagonale, et c’est elle qui rend le comptage délicat — sans elle, il suffirait de choisir quatre timbres parmi douze et l’affaire serait pliée.
Compter au hasard, c’est perdre. Vous en trouverez trente sans effort, puis vous commencerez à hésiter, puis vous ne saurez plus si celui-ci a déjà été noté. C’est le piège exact que Dudeney tend en écrivant « ce n’est donc pas un gros comptage » : le nombre est petit, mais le désordre est fatal. Il faut un ordre, et le trouver est le vrai travail.
Le bon ordre, le voici sans le déflorer : ne comptez pas les groupes, comptez les formes. Combien de silhouettes différentes quatre timbres accolés peuvent-ils dessiner ? Il y en a très peu. Pour chacune, combien de places dans la planche ? Là, ce n’est plus qu’une affaire de glissements — et le total tombe sans qu’on ait rien oublié.
Ce que ce problème fait travailler
Le dénombrement, dans sa leçon fondamentale : on ne compte bien qu’après avoir classé. Énumérer au fil de la plume conduit toujours aux deux mêmes fautes — l’oubli et le doublon — et aucune des deux ne se voit. Ranger d’abord en catégories, puis compter chaque catégorie, c’est la seule méthode qui laisse une trace vérifiable.
Ensuite, l’idée qu’une figure peut être « la même » qu’une autre. Un L couché et un L debout sont-ils deux formes ou une seule ? Tout dépend de ce qu’on s’autorise : les tourner, les retourner. C’est une question de symétrie déguisée en question de comptage, et elle change la réponse du tout au tout.
Enfin, un exercice qu’on peut donner tel quel avec du papier quadrillé : découper les formes, les faire glisser, les compter. Personne n’a besoin de connaître un seul mot de vocabulaire savant pour le faire correctement — et c’est très exactement ce que Dudeney a fait en 1917, trente-six ans avant que ces objets reçoivent un nom.
À vous
- combien de façons, exactement ? Et surtout : comment êtes-vous sûr de n’en avoir oublié aucune ?
- combien de formes différentes quatre timbres accolés peuvent-ils prendre ? (Répondez à celle-ci d’abord, la première en découlera.)
- et sur une planche de quatre sur quatre ? Le comptage change, la méthode non.
En commentaire. J’y donnerai le détail forme par forme — celui de Dudeney et le mien, qui coïncident jusqu’au dernier chiffre.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON.
Problème n° 285 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — cinq formes, soixante-cinq façons.
1. Soixante-cinq façons. Dudeney avait écrit « guère plus d’une cinquantaine » : il y en a quinze de plus, et c’est sa manière de vous laisser croire que vous avez fini quand vous en tenez cinquante.
2. Cinq formes, pas davantage. Quatre timbres qui tiennent par les côtés ne dessinent que cinq silhouettes, si l’on s’autorise à les tourner et à les retourner : la barre, le carré, le L, le T et le S. Sans le retournement, le L et le S se dédoublent chacun en deux formes miroirs, et l’on retrouve les sept pièces de Tetris.
3. Le détail, forme par forme. C’est le compte de Dudeney, et c’est aussi le mien :
la barre (timbres 1, 2, 3, 4) : 3 façons ;
le carré (1, 2, 5, 6) : 6 façons ;
le L (1, 2, 3, 5, et ses variantes) : 28 façons ;
le T (1, 2, 3, 6) : 14 façons ;
le S (1, 2, 6, 7) : 14 façons.
3 + 6 + 28 + 14 + 14 = 65.Comment on compte une forme sans rien oublier. Par glissements. La barre fait quatre timbres de long : couchée, elle occupe une rangée entière, et il y a trois rangées ; debout, elle ne tient pas dans une planche de trois de haut. Trois façons. Le carré de deux sur deux glisse sur trois positions en largeur et deux en hauteur : six façons.
Les trois autres formes tiennent dans un rectangle de deux timbres sur trois. Ce rectangle se pose de
2 × 2 = 4façons quand il est couché, de1 × 3 = 3façons quand il est debout : sept places en tout. Reste à compter combien de dessins différents chaque forme donne dans son rectangle. Le T en donne deux, pied en haut ou pied en bas :2 × 7 = 14. Le S en donne deux aussi, lui et son image dans un miroir : 14 encore. Le L en donne quatre, selon le coin où l’on met son petit pied :4 × 7 = 28.La clause du coin. Sans elle, il suffirait de choisir quatre timbres parmi douze : 495 groupes. Soixante-cinq seulement tiennent d’une pièce. Le groupe 1, 2, 7, 8 de l’article est de ceux qui tombent : les timbres 2 et 7 ne se touchent que par un angle.
4. Sur une planche de quatre sur quatre : cent treize façons. La méthode ne change pas, seuls les glissements changent. La barre : quatre rangées et, cette fois, quatre colonnes, donc 8. Le carré :
3 × 3 = 9. Le rectangle de deux sur trois se pose de six façons couché et de six façons debout, douze places : le T en tire 24, le S 24, le L 48.8 + 9 + 48 + 24 + 24 = 113.Si votre total diffère, cherchez du côté du L : c’est lui qui pèse le plus lourd, et c’est lui qu’on compte de travers, parce qu’on oublie une de ses quatre poses ou qu’on en compte une deux fois.