Un cycliste achète une bicyclette quinze livres, paie avec un chèque de vingt-cinq, empoche dix livres de monnaie et s’en va. Le chèque est en bois. Combien le vendeur a-t-il perdu ? « Les gens donnent à cette question toutes sortes de réponses absurdes », note Dudeney — et cent neuf ans plus tard, ils les donnent encore, en commentaire, avec la même mauvaise foi.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Lisez-le deux fois : chaque phrase compte, et l’une d’elles est là uniquement pour vous égarer.
Voici un petit embrouillamini qui ne cesse de resurgir sous des habillages divers. Un cycliste acheta une bicyclette quinze livres et donna en paiement un chèque de vingt-cinq livres. Le vendeur alla trouver un commerçant du voisinage et se fit changer le chèque par lui ; et le cycliste, ayant reçu ses dix livres de monnaie, enfourcha la machine et disparut. Le chèque se révéla sans valeur, et le voisin pria le vendeur de lui rembourser la somme qu’il avait reçue. Pour y parvenir, celui-ci dut emprunter les vingt-cinq livres à un ami, car le cycliste avait oublié de laisser son adresse et demeurait introuvable. Or, la bicyclette ayant coûté onze livres au vendeur, combien d’argent celui-ci a-t-il perdu en tout ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« Un embrouillamini qui ne cesse de resurgir sous des habillages divers. » Il ne croyait pas si bien dire. Le chèque est devenu un faux billet de cent euros, le vendeur de bicyclettes une boulangère, et le problème refait surface sur les réseaux sociaux à intervalles réguliers, toujours suivi des mêmes centaines de commentaires qui s’invectivent. Les réponses proposées sont invariablement les mêmes quatre : vingt, vingt et une, vingt-cinq, trente-cinq. Une seule est la bonne — et le plus intéressant est que les trois autres ne sont pas des erreurs de calcul. Personne ne se trompe en additionnant : on se trompe en décidant ce qu’il faut additionner.
Une précision sur l’image ci-dessus, parce que cette série tient son crédit de ce que texte et gravures viennent du domaine public : toute la section « casse-tête d’argent » du livre est dépourvue d’illustrations — seul CHINESE MONEY en porte une. Le chèque a donc été composé pour cet article, dans l’esprit des planches de 1917. Il n’a jamais été gravé, et Dudeney ne l’a jamais vu.
Ce que le problème demande vraiment
L’argent ne s’évapore pas. C’est le seul outil dont on ait besoin, et il tient en une phrase que Dudeney écrit lui-même : le vendeur ne peut pas avoir perdu plus que le cycliste n’a volé. Alors ne comptez pas les pertes du vendeur — comptez ce que le voleur emporte en partant. Il emporte deux choses, on les voit à l’œil nu, et l’addition est à la portée d’un élève de sixième. Tout le reste de l’histoire est du décor.
Le décor, justement : deux allers-retours qui s’annulent. Le vendeur reçoit vingt-cinq livres du voisin, puis les lui rend : bilan nul. Il emprunte vingt-cinq livres à un ami, qu’il lui devra : bilan nul lui aussi. Ces deux opérations ne changent rien à sa fortune, elles ne font que déplacer de l’argent d’une poche à l’autre — et c’est en les comptant comme des pertes qu’on arrive à trente-cinq. La faute classique, ici, n’est pas une erreur d’addition : c’est de compter deux fois le même billet.
Faites le tour de la table. Il y a quatre personnages : le vendeur, le voisin, l’ami, le voleur. Établissez le bilan de chacun, gains d’un côté, pertes de l’autre. Trois d’entre eux finissent à zéro — le voisin a été remboursé, l’ami sera remboursé, et le voleur, lui, est en positif. La somme de tous les bilans doit valoir zéro, puisque personne n’a fabriqué de billets. Si votre réponse ne satisfait pas ce contrôle, elle est fausse, et vous n’avez besoin de l’avis de personne pour le savoir.
Et voici la vraie ligne de fracture, celle qui fait durer les disputes. Faut-il compter la bicyclette onze livres, ce qu’elle a coûté au vendeur, ou quinze, ce qu’elle devait lui rapporter ? Dudeney tranche en une phrase : la perte d’un bénéfice espéré n’est pas de l’argent sorti de la poche. Il a raison — mais c’est une convention comptable, pas un théorème, et c’est bien pour cela que les commentaires ne se réconcilient jamais. Les deux camps ont raison, chacun à sa question. Remarquez d’ailleurs que Dudeney prend soin de vous donner le prix d’achat : il sait parfaitement où est le piège, et il vous en donne la clé au dernier moment.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord le bilan, c’est-à-dire les nombres relatifs dans leur emploi le plus honnête : ce qui entre en positif, ce qui sort en négatif, et une somme qui doit tomber juste. C’est l’exercice des fiches sur les nombres relatifs, sauf qu’ici c’est l’élève qui doit décider de ce qu’il met dans le tableau — et c’est infiniment plus difficile que de calculer la somme.
Ensuite la lecture critique d’un énoncé qui circule. Ce problème est un cas d’école pour l’éducation aux médias : un texte court, viral, qui divise, et dont le désaccord ne porte pas du tout sur ce que les gens croient. Faire voter la classe, puis demander à chacun de justifier, puis découvrir que les camps ne répondaient pas à la même question — on n’apprend pas cela dans un exercice ordinaire.
Et enfin le principe de conservation, qui dépasse de loin l’argent : en physique, en chimie, en comptabilité, c’est le même réflexe — si quelque chose semble disparaître, c’est qu’on a mal délimité le système. Les autres problèmes de ce genre sont rassemblés sur la page Problèmes et activités.
À vous
- combien le vendeur a-t-il perdu ? Donnez votre réponse avant de lire les commentaires, c’est plus honnête.
- le contrôle qui met tout le monde d’accord : le bilan du voisin, celui de l’ami, celui du voleur. Leur somme doit être nulle.
- et la question qui n’est pas de l’arithmétique : pourquoi, à votre avis, ce problème-là déclenche-t-il des disputes alors que personne ne se dispute sur une règle de trois ?
Pas de matériel, juste une feuille et quatre colonnes. En commentaire, avec votre bilan — et celui de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série. Je parie sur quatre réponses différentes avant la fin de la semaine.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY.
Problème n° 38 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. La planche de cet article n’en fait pas partie : elle a été composée en 2026, le livre ne donnant aucune illustration pour ce problème. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.