Un général exige que les boulets soient empilés en pyramides à base carrée, et que chaque pyramide contienne un nombre carré de boulets. Le major dit que c’est impossible. Il se trompe — mais il faudra un siècle pour en être sûr.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. C’est une petite scène de caserne, et c’est aussi l’un des problèmes les plus profonds du livre.
« Tous les boulets de canon doivent être empilés en pyramides à base carrée », tel fut l’ordre donné au régiment. Ce fut fait. Puis vint cet autre ordre : « Toutes les pyramides doivent contenir un nombre carré de boulets. » Sur quoi la difficulté surgit. « C’est impossible », dit le major. « Regardez cette pyramide, par exemple : il y a seize boulets à la base, puis neuf, puis quatre, puis un au sommet, ce qui fait trente boulets en tout. Mais il en faudrait six de plus, ou cinq de moins, pour faire un nombre carré. » — « Il faut que ce soit fait », insista le général. « Vous n’avez qu’à mettre le bon nombre de boulets dans vos pyramides. » — « Je l’ai ! » dit un lieutenant, le génie mathématique du régiment. « Disposez les boulets un par un. » — « Balivernes ! » s’exclama le général. « On ne peut pas empiler un seul boulet en pyramide ! » Est-il réellement possible d’obéir aux deux ordres ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Dudeney trouve la réponse, et avoue en toutes lettres qu’il ne peut pas la démontrer. Voici ce qu’il écrit à la fin de sa solution : « À vrai dire, je confesse mon échec à découvrir un autre nombre que celui-ci qui remplisse les conditions, et je n’ai pas non plus trouvé de preuve rigoureuse que ce soit la seule réponse. Le problème est difficile, et la seconde réponse, si elle existe — ce que je ne crois pas —, se compte certainement en grands nombres. » Puis il fait mieux : il ramène la question à une équation de Pell, et donne la condition exacte que devrait vérifier toute autre solution. Il s’arrête à un pas du sommet.
Le pas a été franchi l’année suivante. La conjecture était d’Édouard Lucas ; c’est G. N. Watson qui la démontre en 1918 — un an après la parution de ce livre — au prix d’un détour par les fonctions elliptiques pour venir à bout d’un cas récalcitrant. Et il a fallu attendre 1985, puis 1990, pour que des démonstrations entièrement élémentaires soient publiées. Autrement dit : la preuve que Dudeney appelait de ses vœux, celle qu’un lecteur du Strand Magazine aurait pu suivre, est arrivée plus d’un demi-siècle après sa mort.
Ce que le problème demande vraiment
La pyramide est le point de départ, pas le sujet. Une pyramide à base carrée de n étages contient 1 + 4 + 9 + … + n², c’est-à-dire la somme des n premiers carrés. La question devient donc : cette somme peut-elle, elle-même, être un carré ? Formulée ainsi, elle n’a plus rien de militaire.
Le lieutenant a raison, et c’est agaçant. Un seul boulet forme une pyramide d’un étage et 1 est un carré : les deux ordres sont obéis. Le général refuse, et il a tort sur le fond mais raison sur l’esprit — ce genre de solution dégénérée est le premier réflexe du mathématicien, et le premier agacement de tous les autres. Cherchez donc la vraie pyramide, celle qui a plusieurs étages.
Et méfiez-vous du tâtonnement, qui ne prouvera rien. Vous pouvez calculer les sommes une par une : 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140… et regarder si l’une est un carré. Vous en trouverez une, avec de la patience. Mais qu’aurez-vous établi ? Qu’il en existe une, pas qu’il n’y en a pas d’autre — et c’est précisément là que le meilleur auteur de casse-tête de son temps a dû s’arrêter.
Ce que ce problème fait travailler
Les nombres carrés, bien sûr, mais surtout la somme des premiers carrés — une formule qu’on rencontre au lycée et qui se démontre très bien plus tôt, en empilant des cubes. Le passage du tas de boulets à l’expression algébrique est exactement le geste qu’on demande, et la gravure aide plus qu’un long discours.
Ensuite, la différence entre une réponse trouvée et une réponse démontrée, qui est le fil rouge de cette série et que ce problème pousse à son extrême. Ici, l’écart entre les deux ne se mesure pas en heures de recherche : il se mesure en décennies, et il aura fallu des outils que Dudeney ne pouvait même pas nommer.
Et enfin, quelque chose de plus rare : une leçon d’humilité de la part d’un auteur. Il aurait pu écrire « la réponse est celle-ci » et passer au problème suivant ; personne n’y aurait rien vu. Il a préféré dire ce qu’il savait, ce qu’il croyait, et ce qu’il n’avait pas su faire. C’est une distinction que l’on demande aux élèves et que les adultes pratiquent rarement.
À vous
- trouvez la pyramide. Combien d’étages, combien de boulets ?
- jusqu’où avez-vous poussé la recherche avant de tomber dessus ? Le nombre d’étages surprend.
- et la question qui a occupé les mathématiciens pendant un siècle : comment savoir qu’il n’y en a pas d’autre ?
Les deux premières se traitent avec une feuille de calcul ou dix lignes de programme. La troisième, non — et c’est tout l’intérêt. En commentaire, comme toujours.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES.
Problème n° 138 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.