Seize fromages alignés sur le sol d’un entrepôt. On en prend un, on le fait passer par-dessus quatre autres, on le pose sur le cinquième. Douze fois de suite, et il doit rester quatre piles de quatre — là où vous l’aurez décidé.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Une phrase du milieu décide de tout le problème, et je l’ai d’abord lue de travers — j’y reviens.
Le fromager représenté sur l’illustration est un amateur invétéré de casse-tête. L’un de ses préférés est l’empilement des fromages dans son entrepôt, un amusement où il trouve un bon exercice pour le corps autant que pour l’esprit. Il place seize fromages en ligne droite sur le sol, puis en fait quatre piles de quatre fromages chacune, en faisant toujours passer un fromage par-dessus quatre autres. Si vous employez seize jetons numérotés dans l’ordre de 1 à 16, vous pouvez poser 1 sur 6, 11 sur 1, 7 sur 4, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’il y en ait quatre dans chaque pile. On verra qu’il importe peu que les quatre franchis soient isolés ou empilés : ils comptent tout pareil, et l’on peut toujours porter un fromage dans l’un ou l’autre sens. Il y a bien des façons différentes d’y parvenir en douze coups, ce qui en fait une bonne réussite : essayez de le résoudre de manière que les quatre piles restent à des endroits fixés d’avance. Par exemple, essayez de laisser les piles aux deux extrémités de la rangée, sur les nos 1, 2, 15 et 16 ; c’est assez facile. Essayez ensuite de laisser trois piles ensemble, sur les nos 13, 14 et 15. Puis jouez de façon qu’elles restent sur les nos 3, 5, 12 et 14.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« Qu’ils soient isolés ou empilés, ils comptent tout pareil. » J’ai lu cette phrase comme vous allez sans doute la lire : une pile compte pour un, comme un fromage seul. J’ai écrit le programme là-dessus, j’y ai rejoué les trois solutions que Dudeney donne dans son corrigé — et les trois ont échoué. La bonne lecture est l’autre : on compte les fromages, pas les tas. Une pile de quatre vaut quatre fromages franchis à elle seule. Avec cette règle-là, les trois solutions se déroulent sans un accroc et aboutissent exactement aux places promises. Une phrase de onze mots, deux lectures, et un problème entièrement différent selon celle qu’on retient.
Et ce n’est pas un casse-tête, c’en est une centaine. Dudeney le dit à mi-parcours : « cela fait une bonne réussite » — et il donne trois objectifs différents, aux mêmes règles. C’est le geste d’un concepteur, pas d’un auteur : au lieu de poser une question, il fabrique une machine à en poser. Un siècle plus tard, c’est exactement ce que font les séries de fiches qui tournent sur ce site — mêmes règles, énoncé neuf chaque jour. Il avait compris avant tout le monde qu’un bon casse-tête est un moule.
Les programmes sont publics, avec de quoi refaire le calcul : github.com/w0uf/retro-maths-dudeney. Attention, les solutions y sont données.
Ce que le problème demande vraiment
Le nombre de coups n’est pas un défi, c’est une certitude. Chaque coup enfouit exactement un fromage sous un autre : le nombre de tas visibles diminue de un, pas davantage. On part de seize tas, on veut en obtenir quatre : il faudra douze coups, ni plus ni moins, quelle que soit votre habileté. Ce n’est donc pas la longueur qu’il faut chercher, mais l’arrangement.
Les positions vides ne comptent pas, les fromages si. Quand un fromage quitte sa place, celle-ci devient un trou qu’on enjambe sans le compter. En revanche une pile qui grossit devient un obstacle de plus en plus lourd à franchir : au début, quatre voisins font quatre ; à la fin, une seule pile en vaut quatre à elle toute seule. La difficulté du problème change en cours de route, et c’est ce qui le rend joli.
Alors commencez par le plus facile. Dudeney classe lui-même ses trois objectifs, et dit du premier qu’il est « assez facile ». Faites-le, notez ce qui a marché, puis attaquez le deuxième — vous verrez que la méthode qui vous a servi ne se transporte pas, et c’est là que le vrai travail commence.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord la lecture d’une règle du jeu, qui est une compétence à part entière et qu’aucun programme ne mentionne. Une consigne ambiguë produit deux jeux différents, tous deux cohérents, et rien dans les mathématiques ne vous dira lequel est le bon. J’en ai fait les frais : mon premier programme rejetait les solutions de l’auteur. C’est en cherchant pourquoi qu’on trouve la bonne lecture — l’erreur était la mienne, pas la sienne.
Ensuite un invariant, le plus simple qui soit : à chaque coup, le nombre de tas diminue de un. Il donne la longueur de la partie sans qu’on ait déplacé un seul fromage, et il interdit d’espérer faire plus court. C’est la même façon de penser que devant un taquin : avant de chercher comment, on cherche ce qui ne peut pas changer.
Et enfin, un excellent jeu de classe. Seize jetons, une règle en une phrase, trois objectifs de difficulté croissante, et de quoi occuper une heure à plusieurs. Le fromager avait raison sur un point : c’est bon pour le corps autant que pour l’esprit — les meules de sa gravure doivent peser leurs vingt kilos.
À vous
- les trois objectifs de Dudeney : les extrémités, puis 13-14-15, puis 3-5-12-14.
- pourquoi douze coups, et jamais onze ? La réponse tient en une phrase.
- et la question qu’il ne pose pas : toutes les dispositions de quatre piles sont-elles atteignables, ou certaines sont-elles interdites ?
Seize jetons, un bouchon, des pièces de monnaie — n’importe quoi fait l’affaire. En commentaire, avec vos suites de coups : j’aimerais bien voir si vous trouvez les mêmes que lui.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE.
Problème n° 233 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.