Vingt et un fûts de miel à partager entre trois frères : sept pleins, sept à moitié pleins, sept vides. Chacun doit emporter le même nombre de fûts et la même quantité de miel, sans rien transvaser. Et puis, au milieu de l’énoncé, une clause qui a l’air d’un caprice de famille : aucun ne veut plus de quatre fûts de la même sorte. Cette phrase-là n’est pas un ornement — c’est la serrure du problème.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement, le décor oriental compris — il est de pure convention, comme le chevalier à bicyclette d’un autre épisode : sous le costume, c’est une histoire de notaire.
Il était une fois, à Bagdad, un marchand âgé que tous ceux qui le connaissaient tenaient en grande estime. Il avait trois fils, et c’était une règle de sa vie de les traiter tous exactement de la même façon. Chaque fois que l’un recevait un présent, les deux autres en recevaient chacun un de valeur égale. Or ce digne homme tomba malade et mourut, léguant tous ses biens à ses trois fils par parts égales.
La seule difficulté vint du stock de miel. Il y avait exactement vingt et un fûts. Le vieil homme avait laissé pour instruction que non seulement chaque fils reçût une quantité égale de miel, mais qu’il reçût exactement le même nombre de fûts, et qu’aucun miel ne fût transvasé d’un fût à un autre, à cause du gaspillage que cela entraîne. Or, comme sept de ces fûts étaient pleins, sept à moitié pleins et sept vides, l’affaire se révéla être un vrai casse-tête, d’autant que chacun des frères se refusait à prendre plus de quatre fûts de la même description — pleins, à moitié pleins ou vides. Pouvez-vous montrer comment ils parvinrent à un partage correct de la succession ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
La clause bizarre est la clé de voûte. Recensement fait : sans la lubie des quatre fûts, le partage est possible de deux façons ; avec elle, d’une seule. Ce détail d’ambiance, qu’on lit distraitement comme une chicane entre héritiers, est ce qui transforme un problème à deux réponses en problème à une réponse — et Dudeney le dit sans le dire, puisqu’il consacre la moitié de son corrigé à décrire l’autre partage, celui que la clause interdit. La morale est générale : dans un bon énoncé, la phrase qui semble décorative est souvent celle qui verrouille.
Et vingt et un fûts n’est pas un nombre pris au hasard. J’ai refait le calcul pour toutes les successions du même genre jusqu’à trente-six fûts. Avec quinze fûts, la réponse serait unique toute seule, et la clause ne servirait à rien. Avec dix-huit, elle ne suffirait pas : deux partages y survivraient. Avec trente-trois, elle serait carrément mortelle — plus aucun partage ne passe. Vingt et un est le premier nombre où elle fait exactement son office : elle élimine tout sauf une solution. Dudeney n’en dit pas un mot, et son énoncé est réglé au millimètre.
Ce que le problème demande vraiment
Une seule inconnue par frère, et non trois. C’est le tour de main à trouver, et il change tout. Appelons p le nombre de fûts pleins que reçoit un frère. Il doit emporter sept fûts en tout et l’équivalent de trois fûts et demi de miel : ces deux exigences suffisent à fixer le reste de sa part. Le nombre de fûts à moitié pleins s’en déduit, celui des fûts vides aussi. Autrement dit, dès qu’on sait combien de fûts pleins reçoit un frère, on sait tout de sa part — et le problème passe de neuf inconnues à trois.
Un joli fait tombe en chemin : chacun emporte autant de fûts vides que de fûts pleins. Ce n’est écrit nulle part dans l’énoncé, personne ne l’a exigé, et c’est pourtant vrai de tout partage correct, dans toutes les variantes. La raison tient en une ligne d’algèbre, et c’est le genre de constat qui vaut mieux qu’une solution : il dit quelque chose sur tous les partages à la fois.
Ce qui reste est une question sur les nombres, plus du tout sur le miel. Il faut écrire sept comme une somme de trois nombres — un par frère — chacun borné par en haut, parce qu’on ne peut pas donner plus de fûts pleins qu’il n’en existe une fois la part complétée. La clause des quatre ajoute une borne par en bas. Deux bornes, une somme : le problème entier tient là-dedans, et il se finit à la main en trois minutes. Le passage du tonneau au nombre est toute la difficulté ; après, ce n’est plus qu’un inventaire.
Et le père a failli être un mauvais père. Son testament exige l’égalité parfaite, mais la solution ne l’accorde pas : deux frères reçoivent exactement la même chose, le troisième une part différente — de même valeur, de même volume, mais pas de même forme. Dudeney le souligne, et c’est vrai des deux partages possibles. Ce n’est pourtant pas une fatalité : avec dix-huit fûts, il existe un partage où les trois parts sont toutes différentes. Vingt et un ne le permet pas.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord la mise en équation, dans sa version la plus utile : traduire un énoncé bavard en deux lignes, puis s’apercevoir que les deux lignes n’en font qu’une. C’est l’exercice de la leçon de 4e sur les équations et les problèmes, avec cette différence que les solutions doivent être des nombres entiers de fûts — on ne coupe pas un tonneau en deux, et cette contrainte-là fait plus de travail que l’équation.
Ensuite le demi, tranquillement : un fût à moitié plein vaut un demi-fût de miel, et trois fûts et demi par frère. Beaucoup d’élèves préfèrent compter en demi-fûts pour rester en nombres entiers, et c’est une excellente idée — changer d’unité pour chasser les fractions est un réflexe de mathématicien, pas une ruse d’écolier.
Et enfin, ce qui fait de ce problème une bonne demi-heure de classe : vingt et un gobelets, trois élèves, et la discussion qui vient d’elle-même sur ce que veut dire « partager également ». Les autres problèmes du même genre sont rassemblés sur la page Problèmes et activités.
À vous
- le partage des vingt et un fûts, tel que les trois frères l’ont fait.
- la démonstration qui va avec : pourquoi chaque frère emporte-t-il forcément autant de fûts vides que de pleins ?
- et la question que l’énoncé ne pose pas : pour quels nombres de fûts le partage est-il unique sans la clause des quatre ? Il y en a, et pas seulement des petits.
Vingt et un gobelets et un peu d’eau font parfaitement l’affaire — c’est même plus convaincant que le papier. En commentaire, avec votre partage : celui de Dudeney viendra s’y poser, comme toujours dans cette série.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE.
Problème n° 372 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.