Douze tourtes posées sur la table en étoile à six branches. Comptez : six rangées de quatre. Déplacez-en quatre, et il doit y en avoir sept. Une rangée de plus, sans une tourte de plus.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Trois phrases, et pas un mot de trop.
On verra sur notre illustration comment douze tourtes de Noël peuvent être disposées sur la table de manière à former six rangées droites, avec quatre tourtes dans chaque rangée. Le casse-tête consiste à n’en déplacer que quatre, vers de nouvelles places, de sorte qu’il y ait sept rangées droites de quatre. Lesquelles déplaceriez-vous, et où les reposeriez-vous ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Dudeney ouvre cette section du livre par un aveu. Il rappelle que le plus célèbre de ces problèmes — planter neuf arbres en dix rangées de trois — est attribué à Newton, que le plus ancien recueil qu’il connaisse est un « rare petit livre » de 1821 qu’il possède, puis il écrit ceci : « Ces casse-tête de plantation d’arbres ont toujours été une source de grande perplexité. Ce sont de vrais casse-tête, au sens le plus fort du mot, car personne n’a encore réussi à trouver une méthode directe et sûre pour les résoudre. […] Peut-être qu’un jour un génie découvrira la clé de tout ce mystère. »
Le génie s’est fait attendre. Ce que Dudeney appelait « le mystère » porte aujourd’hui un nom — le problème du verger — et il a résisté un siècle de plus : il a fallu attendre 2013, et un article de Ben Green et Terence Tao, pour que la question soit tranchée dans le cas des grands nombres d’arbres. Pour un nombre d’arbres donné, les valeurs exactes ne sont connues que dans les tout petits cas. Le vieux chroniqueur avait raison sur toute la ligne : ce ne sont pas des exercices, ce sont des problèmes.
Ce que le problème demande vraiment
Une tourte est un point. Dudeney y insiste dans son introduction, et ce n’est pas une coquetterie : « si nous étions autorisés à faire nos arbres assez gros, nous pourrions aisément truquer nos figures et y gagner quelques rangées plus apparentes que réelles ». Une rangée qui passe « presque » par une tourte n’est pas une rangée. C’est la seule règle du jeu, et c’est elle qui le rend difficile.
Les nouvelles places sont libres. Rien ne vous oblige à reposer les tourtes sur les points de l’étoile, ni sur un quadrillage, ni nulle part en particulier : la table est continue, vous posez où vous voulez. C’est ce qui distingue ce problème de tous ceux à cases de cette série — et c’est aussi ce qui empêche de le résoudre en essayant tout, puisqu’il y a une infinité d’endroits où poser une tourte.
Un petit calcul avant de commencer, qui vaut mieux que dix essais. Sept rangées de quatre, cela fait vingt-huit places à remplir. Vous n’avez que douze tourtes. Chacune doit donc appartenir à plus de deux rangées en moyenne — autrement dit, certaines doivent se trouver à l’intersection de trois rangées à la fois. Cherchez-les : ce sont elles qui portent la figure, et elles sont beaucoup moins nombreuses que les autres.
Ce que ce problème fait travailler
L’alignement, d’abord — la plus élémentaire des notions de géométrie, et la seule qui intervienne ici. Ni distance, ni angle, ni mesure : trois points sont alignés ou ils ne le sont pas. C’est si peu de chose qu’on l’enseigne en sixième, et cela suffit à fabriquer un problème que personne ne sait résoudre en général.
Et c’est aussi une belle occasion de comprendre ce que l’alignement ne dépend pas de. J’ai vérifié la solution de Dudeney en relevant les positions sur sa planche : elle est un peu étirée en hauteur, l’étoile n’y est pas tout à fait régulière. Cela n’a aucune importance. Étirez, aplatissez, inclinez le dessin : des points alignés le restent. Les longueurs changent, les rangées non — et c’est pour cette raison qu’on peut travailler sur une gravure de travers sans rien fausser.
Enfin, un problème de construction au sens propre : celui-ci se cherche à la règle, sur une feuille, en traçant des droites et en regardant où elles se coupent. Les nouvelles places ne se devinent pas, elles se construisent.
À vous
- quelles quatre tourtes déplacer, et où les reposer ?
- et pendant que vous y êtes : peut-on faire huit rangées avec douze tourtes ?
La seconde question est autrement plus sérieuse que la première, et je ne prétends pas y répondre : c’est précisément le genre de question dont Dudeney disait que personne ne sait s’y prendre. En commentaire, comme toujours — un compas, une règle et du papier suffisent. J’y mettrai la solution de Dudeney dans quelques jours, avec les coordonnées exactes qui la vérifient.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF, A CALENDAR PUZZLE, THE BURMESE PLANTATION, A CHESSBOARD FALLACY.
Problème n° 211 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — quatre tourtes, quatre croisements, sept rangées.
1. Lesquelles déplacer. Les deux pointes latérales du haut de l’étoile, à gauche et à droite, et les deux tourtes de l’hexagone qui sont sur la rangée du bas. Restent en place : la pointe du haut, la pointe du bas, les deux pointes latérales du bas, et quatre tourtes de l’hexagone, les deux du haut et les deux du milieu.
2. Où les reposer. Aux croisements de quatre droites que l’on trace à la règle. De la pointe en bas à gauche, tirez un trait vers la tourte de l’hexagone en haut à droite, et un autre vers la tourte de l’hexagone au milieu à droite. Faites de même depuis la pointe en bas à droite, vers la gauche. Ces quatre traits se coupent en quatre endroits à l’intérieur de l’étoile : deux sur l’axe vertical, l’un au-dessus de l’autre, et deux de part et d’autre, un peu sous le centre. Ce sont les quatre nouvelles places. C’est la figure du corrigé de Dudeney.
3. Les sept rangées.
les deux côtés du grand triangle, de la pointe du haut à chacune des pointes du bas : ce sont deux rangées de l’étoile, restées intactes ;
l’axe vertical : la pointe du haut, les deux nouvelles tourtes de l’axe, la pointe du bas ;
les quatre traits que vous venez de tracer : chacun porte une pointe du bas, une tourte de l’hexagone et deux nouvelles tourtes.
2 + 1 + 4 = 7.Les coordonnées exactes. Prenez le centre de l’étoile pour origine. Mesurez les hauteurs en prenant pour unité la moitié de la distance du centre à la pointe du haut, et les largeurs en prenant pour unité le tiers de la distance de l’axe à une pointe latérale. Les six pointes sont alors en (0 ; 2), (0 ; −2), (±3 ; 1) et (±3 ; −1), et l’hexagone en (±1 ; 1), (±2 ; 0) et (±1 ; −1). Les quatre nouvelles places sont :
(0 ; 1/2) et (0 ; −2/5) sur l’axe ;
(−9/7 ; −1/7) et (9/7 ; −1/7) de part et d’autre.
Avec ces fractions, les sept alignements sont exacts, et il n’y en a pas un de plus : aucune des douze tourtes ne s’aligne avec trois autres en dehors de ces sept rangées.
Le calcul des vingt-huit places. Sept rangées de quatre, vingt-huit places pour douze tourtes. Dans la solution, cinq tourtes sont au croisement de trois rangées : la pointe du haut, les deux pointes du bas et les deux nouvelles tourtes de l’axe. Six autres sont sur deux rangées. Et la dernière, la pointe du bas de l’étoile, n’est que sur une seule, l’axe : elle n’a pas bougé, mais elle ne tient plus qu’à un fil.
5 × 3 + 6 × 2 + 1 = 28.Pourquoi on peut travailler sur une figure de travers. Les coordonnées ci-dessus n’utilisent pas la même unité en hauteur et en largeur, et cela ne change rien : étirer une figure conserve les alignements. Votre étoile peut être haute, large ou penchée ; tant que les douze tourtes de départ forment bien leurs six rangées, la construction à la règle donne les sept.
Et huit rangées ? Je n’en ai pas trouvé, et les tables que tiennent les amateurs de ce « problème du verger » ne donnent pas mieux que sept pour douze points en rangées de quatre. Si vous en dessinez huit, vérifiez chaque alignement à la règle avant de crier victoire — puis écrivez-le ici.