Une pendule s’arrête, et personne n’a vu l’heure qu’elle marquait. Personne, sauf le graveur. Toute cette énigme tient dans une image — et dans une question de vocabulaire.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. Le club des Cogitateurs n’apparaît qu’ici, dans tout le livre : Dudeney l’a inventé pour l’occasion.
L’une des grandes pendules du club des Cogitateurs fut trouvée l’autre soir arrêtée juste au moment où, comme on le verra sur l’illustration, la trotteuse se tenait exactement à mi-chemin entre les deux autres aiguilles. L’un des membres proposa à quelques-uns de ses amis de lui dire l’heure exacte à laquelle (si la pendule ne s’était pas arrêtée) la trotteuse se serait de nouveau trouvée à mi-chemin entre l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures. Saurez-vous trouver l’heure exacte à laquelle cela se produirait ?
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
Un point mérite d’être signalé, car il est rare : le graveur n’a pas dessiné à peu près. J’ai comparé les directions mesurées aux positions que devraient occuper les trois aiguilles d’une pendule arrêtée à l’instant décrit — elles concordent au degré près. Sur une gravure sur bois de 1917, c’est de la conscience professionnelle. Et pour vous, c’est une bonne nouvelle : l’illustration est une donnée fiable, pas une vignette décorative. Vous avez le droit de la mesurer.
Ce que le problème demande vraiment
Il y a deux problèmes, et l’énoncé n’en annonce qu’un. Avant de chercher le prochain instant, il faut trouver celui-là : à quelle heure la pendule s’est-elle arrêtée ? L’énoncé ne le dit pas, il vous renvoie à l’image. C’est la condition « la trotteuse est à mi-chemin entre les deux autres » qui détermine l’instant — et le dessin qui vous indique lequel, parmi tous ceux qui la vérifient.
Et il y a un mot à définir. Que veut dire exactement « à mi-chemin entre les deux autres aiguilles » ? Prenez deux aiguilles quelconques : deux points du cadran sont à égale distance de l’une et de l’autre, et ils sont diamétralement opposés. Lequel des deux est « entre » les aiguilles ? Le choix que vous ferez change la réponse — Dudeney, lui, en avait un très précis en tête, et il le dit noir sur blanc dans sa solution. Tant que cette phrase n’est pas devenue une condition sans ambiguïté, il n’y a rien à calculer.
Pour le reste, une seule chose est à savoir, et vous la connaissez : la trotteuse fait un tour par minute, l’aiguille des minutes un tour par heure, celle des heures un tour en douze heures. Trois vitesses constantes, un même cadran. Tout est là.
Ce que ce problème fait travailler
D’abord une chose qui ne s’enseigne pas assez : traduire une phrase en condition. « À mi-chemin entre » n’est pas une formule, c’est du français, et tant qu’on ne l’a pas transformé en égalité on tourne en rond. C’est le vrai travail de la mise en équation, celui qu’on escamote quand l’énoncé dit déjà « soit x ».
Ensuite, les fractions, et elles seront désagréables. Une pendule à trois aiguilles fabrique des dénominateurs qu’aucun professeur n’oserait mettre dans un exercice. Résistez à la tentation d’arrondir : deux des instants candidats sont séparés de moins d’une minute, et une valeur approchée ne permet plus de les distinguer.
Enfin, une habitude de chercheur : se méfier de la première solution trouvée. L’équation en donne plus d’une, et toutes ne répondent pas à la question posée. Savoir écarter une solution parce qu’elle ne convient pas — et pouvoir dire pourquoi — vaut mieux que de savoir la calculer.
À vous
Deux réponses à donner, donc : l’heure à laquelle la pendule s’est arrêtée, et celle où la trotteuse se serait de nouveau trouvée entre les deux autres. Toutes deux à la fraction de seconde près — Dudeney ne demande pas moins.
Postez-les en commentaire, avec votre définition de « à mi-chemin » : c’est elle qui fera la différence. J’y mettrai les miennes, et le détail du calcul, dans quelques jours.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE CAB NUMBERS, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER.
Problème n° 62 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Texte et gravure sont dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.