Un policier londonien note à la craie les numéros de deux fiacres suspects sur le portail d’un quai. Au matin, un commis les efface. Restent une bizarrerie remarquée cette nuit-là — et un problème que les mathématiciens consultés à l’époque ne savaient pas traiter.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. La question précise n’arrive qu’à la dernière phrase ; tout ce qui précède est une histoire, et elle est bonne.
Un policier de Londres vit un soir deux fiacres partir en sens opposés dans des circonstances suspectes. Cet agent était un homme particulièrement soigneux et vigilant : il sortit son carnet pour noter les numéros des fiacres, mais s’aperçut qu’il avait perdu son crayon. Par bonheur il trouva un petit morceau de craie, avec lequel il inscrivit les deux nombres sur le portail d’un quai tout proche. Repassant au même endroit au cours de sa ronde, il s’arrêta pour les regarder de nouveau et remarqua cette particularité : tous les neuf chiffres (pas de zéro) étaient employés, aucun n’était répété, et pourtant, en multipliant les deux nombres l’un par l’autre, on retrouvait les neuf chiffres, chacun une fois et une seule. Lorsqu’un commis arriva au quai au petit matin, il vit les marques de craie et les effaça soigneusement. Comme le policier ne s’en souvenait plus, on consulta certains mathématiciens pour savoir s’il existait une méthode connue permettant de découvrir tous les couples de nombres ayant la particularité que l’agent avait remarquée ; mais ils n’en connaissaient aucune. L’enquête fut néanmoins intéressante, et la question suivante fut posée, parmi bien d’autres : quels deux nombres, contenant ensemble les neuf chiffres, donneront en se multipliant un autre nombre — le plus grand possible — contenant lui aussi les neuf chiffres ? Le zéro n’est admis nulle part.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« On consulta certains mathématiciens… mais ils n’en connaissaient aucune. » La phrase est glissée au milieu de l’histoire comme un détail de roman policier, et c’est pourtant l’aveu le plus net du livre : en 1917, dresser la liste complète de ces couples n’était pas à la portée de qui que ce soit. Il aurait fallu des dizaines de milliers de multiplications à la main, sans garantie de n’en oublier aucune. Aujourd’hui, la liste entière sort d’un ordinateur portable en une seconde — et elle est plus longue qu’on ne l’imagine.
Quant à la réponse, Dudeney l’introduit par un « je crois ». C’est sa formule de prudence, et elle revient ailleurs dans le livre pour couvrir une affirmation qui, elle, se révèle fausse — j’y reviendrai dans un autre épisode. Ici, je l’ai vérifiée en passant tous les couples en revue : il a raison. Sans machine, sans méthode connue de personne, il a trouvé le maximum et il a eu l’honnêteté de ne pas prétendre en être sûr. C’est la bonne façon de se tromper, et c’est aussi la bonne façon d’avoir raison.
Ce que le problème demande vraiment
Trois contraintes, pas deux. Les deux facteurs emploient ensemble les neuf chiffres, chacun une fois ; le produit les emploie aussi, chacun une fois ; et le zéro est banni partout. C’est la troisième qui fait tout : sans elle, on maximiserait bêtement en coupant les neuf chiffres au meilleur endroit, et il n’y aurait pas de problème.
Une remarque qui économise des heures. La somme des chiffres de 1 à 9 vaut 45, qui est un multiple de 9 : tout nombre employant les neuf chiffres est donc divisible par 9. Cela vaut pour le produit — mais aussi, en creux, pour les facteurs. J’ai vérifié sur la totalité des couples : les deux facteurs sont toujours, l’un et l’autre, des multiples de 3. Voilà de quoi jeter d’un trait l’écrasante majorité des candidats avant d’avoir posé la moindre multiplication. C’est la preuve par neuf, celle qu’on apprenait à l’école primaire et qu’on a cessé d’enseigner.
Et une question d’ordre de grandeur, avant de chercher. Pour rendre un produit aussi grand que possible avec neuf chiffres à répartir, vaut-il mieux deux nombres de taille voisine, ou un très gros et un tout petit ? L’intuition scolaire dit l’un, l’arithmétique dit l’autre. Tranchez cette question-là d’abord : elle vous indiquera où chercher.
Ce que ce problème fait travailler
Les critères de divisibilité, dans leur emploi le plus noble : non pas pour vérifier un résultat, mais pour éliminer des candidats qu’on n’aura jamais à examiner. Un critère bien choisi fait plus de travail qu’une heure de calcul, et c’est exactement ce qu’on demande à un élève de comprendre quand on lui enseigne la divisibilité par 9.
Ensuite la multiplication et le sens des ordres de grandeur, qui sont ici l’outil de recherche et pas la corvée finale. Celui qui sait estimer un produit à vue avance dix fois plus vite que celui qui pose chaque opération.
Et enfin l’esprit des cryptarithmes : des chiffres qu’on déplace, des contraintes qui s’emboîtent, et une solution qu’on cerne par élimination plutôt qu’on ne calcule. C’est de la logique déguisée en arithmétique, et c’est ce qui rend ces problèmes si accrocheurs.
À vous
- trouvez un couple qui marche. N’importe lequel — c’est déjà satisfaisant.
- puis celui qui donne le plus grand produit. C’est la question posée.
- et celle que Dudeney ne pouvait pas poser : combien y a-t-il de couples en tout ?
La troisième se traite en dix lignes de programme, et le nombre m’a surpris. En commentaire, avec vos couples — je serais curieux de voir combien on en trouve à nous tous, sans machine.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE.
Problème n° 85 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Ce problème n’a pas d’illustration dans le livre ; le dessin ci-dessus a été composé pour cette série. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.