Un policier londonien note à la craie les numéros de deux fiacres suspects sur le portail d’un quai. Au matin, un commis les efface. Restent une bizarrerie remarquée cette nuit-là — et un problème que les mathématiciens consultés à l’époque ne savaient pas traiter.
L’énoncé, publié à Londres en 1917
Traduit intégralement. La question précise n’arrive qu’à la dernière phrase ; tout ce qui précède est une histoire, et elle est bonne.
Un policier de Londres vit un soir deux fiacres partir en sens opposés dans des circonstances suspectes. Cet agent était un homme particulièrement soigneux et vigilant : il sortit son carnet pour noter les numéros des fiacres, mais s’aperçut qu’il avait perdu son crayon. Par bonheur il trouva un petit morceau de craie, avec lequel il inscrivit les deux nombres sur le portail d’un quai tout proche. Repassant au même endroit au cours de sa ronde, il s’arrêta pour les regarder de nouveau et remarqua cette particularité : tous les neuf chiffres (pas de zéro) étaient employés, aucun n’était répété, et pourtant, en multipliant les deux nombres l’un par l’autre, on retrouvait les neuf chiffres, chacun une fois et une seule. Lorsqu’un commis arriva au quai au petit matin, il vit les marques de craie et les effaça soigneusement. Comme le policier ne s’en souvenait plus, on consulta certains mathématiciens pour savoir s’il existait une méthode connue permettant de découvrir tous les couples de nombres ayant la particularité que l’agent avait remarquée ; mais ils n’en connaissaient aucune. L’enquête fut néanmoins intéressante, et la question suivante fut posée, parmi bien d’autres : quels deux nombres, contenant ensemble les neuf chiffres, donneront en se multipliant un autre nombre — le plus grand possible — contenant lui aussi les neuf chiffres ? Le zéro n’est admis nulle part.
Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917
Ce qu’on lit aujourd’hui
« On consulta certains mathématiciens… mais ils n’en connaissaient aucune. » La phrase est glissée au milieu de l’histoire comme un détail de roman policier, et c’est pourtant l’aveu le plus net du livre : en 1917, dresser la liste complète de ces couples n’était pas à la portée de qui que ce soit. Il aurait fallu des dizaines de milliers de multiplications à la main, sans garantie de n’en oublier aucune. Aujourd’hui, la liste entière sort d’un ordinateur portable en une seconde — et elle est plus longue qu’on ne l’imagine.
Quant à la réponse, Dudeney l’introduit par un « je crois ». C’est sa formule de prudence, et elle revient ailleurs dans le livre pour couvrir une affirmation qui, elle, se révèle fausse — j’y reviendrai dans un autre épisode. Ici, je l’ai vérifiée en passant tous les couples en revue : il a raison. Sans machine, sans méthode connue de personne, il a trouvé le maximum et il a eu l’honnêteté de ne pas prétendre en être sûr. C’est la bonne façon de se tromper, et c’est aussi la bonne façon d’avoir raison.
Les programmes sont publics, avec de quoi refaire le calcul : github.com/w0uf/retro-maths-dudeney. Attention, les solutions y sont données.
Ce que le problème demande vraiment
Trois contraintes, pas deux. Les deux facteurs emploient ensemble les neuf chiffres, chacun une fois ; le produit les emploie aussi, chacun une fois ; et le zéro est banni partout. C’est la troisième qui fait tout : sans elle, on maximiserait bêtement en coupant les neuf chiffres au meilleur endroit, et il n’y aurait pas de problème.
Une remarque qui économise des heures. La somme des chiffres de 1 à 9 vaut 45, qui est un multiple de 9 : tout nombre employant les neuf chiffres est donc divisible par 9. Cela vaut pour le produit — mais aussi, en creux, pour les facteurs. J’ai vérifié sur la totalité des couples : les deux facteurs sont toujours, l’un et l’autre, des multiples de 3. Voilà de quoi jeter d’un trait l’écrasante majorité des candidats avant d’avoir posé la moindre multiplication. C’est la preuve par neuf, celle qu’on apprenait à l’école primaire et qu’on a cessé d’enseigner.
Et une question d’ordre de grandeur, avant de chercher. Pour rendre un produit aussi grand que possible avec neuf chiffres à répartir, vaut-il mieux deux nombres de taille voisine, ou un très gros et un tout petit ? L’intuition scolaire dit l’un, l’arithmétique dit l’autre. Tranchez cette question-là d’abord : elle vous indiquera où chercher.
Ce que ce problème fait travailler
Les critères de divisibilité, dans leur emploi le plus noble : non pas pour vérifier un résultat, mais pour éliminer des candidats qu’on n’aura jamais à examiner. Un critère bien choisi fait plus de travail qu’une heure de calcul, et c’est exactement ce qu’on demande à un élève de comprendre quand on lui enseigne la divisibilité par 9.
Ensuite la multiplication et le sens des ordres de grandeur, qui sont ici l’outil de recherche et pas la corvée finale. Celui qui sait estimer un produit à vue avance dix fois plus vite que celui qui pose chaque opération.
Et enfin l’esprit des cryptarithmes : des chiffres qu’on déplace, des contraintes qui s’emboîtent, et une solution qu’on cerne par élimination plutôt qu’on ne calcule. C’est de la logique déguisée en arithmétique, et c’est ce qui rend ces problèmes si accrocheurs.
À vous
- trouvez un couple qui marche. N’importe lequel — c’est déjà satisfaisant.
- puis celui qui donne le plus grand produit. C’est la question posée.
- et celle que Dudeney ne pouvait pas poser : combien y a-t-il de couples en tout ?
La troisième se traite en dix lignes de programme, et le nombre m’a surpris. En commentaire, avec vos couples — je serais curieux de voir combien on en trouve à nous tous, sans machine.
Dans la même série. Rétro Math’s reprend les 430 problèmes d’Amusements in Mathematics (1917) : l’énoncé traduit tel quel, ce qu’on en sait aujourd’hui, et la solution en commentaire. Les autres épisodes en ligne : CHINESE MONEY, CHANGING PLACES, THE STOP-WATCH, MRS. PERKINS’S QUILT, WATER, GAS, AND ELECTRICITY, THE INDUSTRIOUS BOOKWORM, SIR EDWYN DE TUDOR, THE NINE COUNTERS, THE SIX FROGS, A CENSUS PUZZLE, THE BARREL PUZZLE, A TRICK WITH DICE, CROSSING THE RIVER AXE, THE MILKMAID PUZZLE, THE TROUBLESOME EIGHT, THE FOUR POSTAGE STAMPS, A CHAIN PUZZLE, THE ROUND TABLE, THE POTATO PUZZLE, THE ECCENTRIC CHEESEMONGER, THE CLUB CLOCK, THE TWELVE MINCE-PIES, THE ARTILLERYMEN’S DILEMMA, PAPA’S PUZZLE, THE SPANISH DUNGEON, THE HAT-PEG PUZZLE, THE BARRELS OF HONEY, THE BICYCLE THIEF.
Problème n° 85 d’Amusements in Mathematics, de Henry Ernest Dudeney (Londres, 1917). Le texte est dans le domaine public : Dudeney est mort en 1930. Ce problème n’a pas d’illustration dans le livre ; le dessin ci-dessus a été composé pour cette série. Le livre est intégralement disponible sur Project Gutenberg, et l’énoncé original se lit ici.
Les réponses, comme promis — le plus grand produit, et le compte que Dudeney ne pouvait pas faire.
1. Le plus grand produit.
96 × 8 745 231 = 839 542 176. C’est la réponse de Dudeney, précédée de son « je crois », et c’est bien le maximum : aucun autre couple ne fait mieux. Le suivant est son voisin immédiat,96 × 8 723 451 = 837 451 296.2. Deux nombres voisins, ou un gros et un petit ? Sans la troisième contrainte, la règle scolaire a raison : pour un produit maximal, on équilibre. Le record absolu avec neuf chiffres à répartir est
9 642 × 87 531 = 843 973 902— mais ce produit contient un zéro, deux 3 et deux 9, et il est éliminé. Dès qu’on exige que le produit emploie lui aussi les neuf chiffres, c’est un couple très déséquilibré qui gagne, deux chiffres contre sept. Voici le meilleur de chaque découpage :un chiffre et huit :
9 × 87 325 146 = 785 926 314;deux et sept :
96 × 8 745 231 = 839 542 176;trois et six :
852 × 964 713 = 821 935 476;quatre et cinq :
8 352 × 97 641 = 815 497 632.3. Combien de couples en tout ? 1 625. C’est le nombre qui surprend : on s’attend à une poignée de curiosités, il y en a plus de seize cents. 567 ont un facteur d’un seul chiffre, 342 un facteur de deux chiffres, 370 de trois, 346 de quatre. Et ils ne donnent que 1 596 produits différents, parce que vingt-neuf produits s’obtiennent de deux façons. Le plus joli :
3 × 65 429 178et6 × 32 714 589valent tous deux 196 287 534.Si vous en avez trouvé un à la main, il y a toutes les chances qu’il commence par 3 : c’est le cas de 336 couples, un sur cinq. Le plus petit produit de la liste est
48 × 2 573 916 = 123 547 968.Pourquoi les deux facteurs sont toujours des multiples de 3. La preuve par neuf le dit en trois lignes. Un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres quand on le divise par 9. Les deux facteurs se partagent les neuf chiffres, dont la somme est 45 : leurs restes s’additionnent donc à un multiple de 9. Le produit emploie aussi les neuf chiffres : il est lui-même multiple de 9. Si le premier facteur a pour reste r, le second a pour reste 9 − r, et le produit r × (9 − r) doit être multiple de 9 : cela n’arrive que pour r = 0, 3 ou 6. Les deux facteurs sont donc multiples de 3 — et, plus précisément, soit tous deux multiples de 9 (476 couples), soit l’un de reste 3 et l’autre de reste 6 (1 149 couples). C’est exactement le tri que Dudeney fait dans son corrigé, avec ce qu’il appelle la « racine numérique » : il en tire les familles 3 et 6, 9 et 9, et il s’arrête là, faute de pouvoir poser les multiplications.
Ce critère écarte d’emblée deux candidats sur trois. Pour le reste, il n’y a toujours pas de méthode : il faut multiplier. En 1917, cela se comptait en semaines ; aujourd’hui, la liste complète sort en quelques secondes.