Au collège, on apprend que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. On le démontre même, en traçant une parallèle à un côté. Ce qu’on dit rarement, c’est que cette démonstration repose sur une affirmation que personne n’a jamais réussi à démontrer : par un point, on ne peut mener qu’une seule parallèle à une droite donnée. C’est le « postulat d’Euclide », et le troisième chapitre de La Science et l’Hypothèse raconte ce qui arrive quand on y renonce.
Pendant deux mille ans, des mathématiciens ont essayé de le déduire des autres axiomes. Poincaré n’a pas de mots assez forts : « Ce qu’on a dépensé d’efforts dans cet espoir chimérique est vraiment inimaginable. » Puis, au XIXe siècle, le Russe Lobatchevski et le Hongrois Bolyai montrent que c’est impossible. Depuis, ajoute-t-il, « l’Académie des Sciences ne reçoit plus guère qu’une ou deux démonstrations nouvelles par an ».
Trois géométries, trois sommes d’angles
L’idée de Lobatchevski est simple : supposer au contraire qu’on peut mener plusieurs parallèles, garder tous les autres axiomes, et voir si l’on tombe sur une contradiction. On n’en trouve aucune. On obtient une géométrie cohérente, mais déroutante. La somme des angles d’un triangle y est toujours inférieure à 180°, et d’autant plus que le triangle est grand. On ne peut pas y agrandir une figure sans la déformer : deux triangles de même forme ont forcément la même taille.
Pour faire comprendre la géométrie opposée, celle de Riemann, Poincaré imagine des êtres « infiniment plats » qui vivraient à la surface d’une sphère sans pouvoir la quitter. Pour eux, le plus court chemin entre deux points est un arc de grand cercle, et ce sera leur « droite ». Deux grands cercles se coupent toujours : il n’y a donc aucune parallèle. Et leur monde a une propriété curieuse :
Leur espace sera donc sans limites puisqu’on peut sur une sphère aller toujours devant soi sans jamais être arrêté, et cependant il sera fini ; on n’en trouvera jamais le bout, mais on pourra en faire le tour.
Henri Poincaré, La Science et l’Hypothèse, 1902
Il résume les trois géométries dans un tableau qu’on pourrait afficher en classe :
| géométrie | parallèles par un point | somme des angles d’un triangle |
|---|---|---|
| Euclide | une | égale à 180° |
| Lobatchevski | une infinité | inférieure à 180° |
| Riemann | aucune | supérieure à 180° |
Reste à s’assurer que ces géométries ne cachent pas une contradiction qu’on n’aurait pas encore trouvée. Poincaré répond par une image de traducteur. On construit un « dictionnaire » qui fait correspondre à chaque mot de Lobatchevski un objet de la géométrie ordinaire : sa « droite » devient un certain arc de cercle, son « plan » une certaine sphère. Chaque théorème de Lobatchevski se traduit alors en un théorème de géométrie ordinaire. S’il y avait une contradiction chez Lobatchevski, il y en aurait une chez Euclide.
Mesurer les angles d’un triangle sur la Terre
La géométrie des êtres plats n’est pas une fiction lointaine : c’est celle de la surface de la Terre. Et elle permet de vérifier par le calcul ce qu’affirme Poincaré. Sur une sphère, la somme des angles dépasse 180° d’une quantité, l’excès, proportionnelle à l’aire du triangle. C’est la formule d’Albert Girard (1629) : l’excès, mesuré en radians, vaut l’aire divisée par le carré du rayon.
Le programme calcule les angles de quatre triangles tracés sur la Terre, avec des « droites » qui sont des arcs de grand cercle. Pour les deux plus grands, il mesure aussi l’aire sans aucune formule. Il jette dix millions de points au hasard sur le globe et compte ceux qui tombent dans le triangle.
import random
from math import radians, degrees, sin, cos, acos, sqrt, pi
R = 6371.0 # rayon moyen de la Terre, en km
def point(lat, lon):
"""Un lieu de la Terre, vu comme un vecteur unitaire depuis le centre."""
la, lo = radians(lat), radians(lon)
return (cos(la) * cos(lo), cos(la) * sin(lo), sin(la))
def produit(u, v):
return sum(a * b for a, b in zip(u, v))
def angle(A, B, C):
"""Angle en A du triangle sphérique ABC : l'angle entre les « droites » AB et AC."""
tb = [b - produit(A, B) * a for a, b in zip(A, B)] # direction de B vue depuis A
tc = [c - produit(A, C) * a for a, c in zip(A, C)]
return acos(produit(tb, tc) / sqrt(produit(tb, tb) * produit(tc, tc)))
def determinant(u, v, w):
return (u[0] * (v[1] * w[2] - v[2] * w[1]) - u[1] * (v[0] * w[2] - v[2] * w[0])
+ u[2] * (v[0] * w[1] - v[1] * w[0]))
def aire_au_hasard(A, B, C, n=10_000_000):
"""Aire sphérique mesurée sans formule : on jette n points au hasard sur la Terre
et on compte ceux qui tombent dans le triangle."""
cotes = [(A, B, C), (B, C, A), (C, A, B)]
dedans = 0
for _ in range(n):
x, y, z = random.gauss(0, 1), random.gauss(0, 1), random.gauss(0, 1)
P = (x, y, z)
if all(determinant(U, V, P) * determinant(U, V, W) > 0 for U, V, W in cotes):
dedans += 1
return 4 * pi * R * R * dedans / n
def aire_plane(A, B, C):
"""Aire du triangle rectiligne de mêmes côtés (formule de Héron), en km²."""
a, b, c = (R * acos(produit(P, Q)) for P, Q in ((B, C), (A, C), (A, B)))
s = (a + b + c) / 2
return sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
triangles = {
"pôle Nord, Gabon, Indonésie": [(90, 0), (0, 10), (0, 100)],
"Paris, Moscou, Le Caire": [(48.857, 2.352), (55.756, 37.617), (30.044, 31.236)],
"Brocken, Hoher Hagen, Inselsberg": [(51.8006, 10.6156), (51.4775, 9.7797), (50.8519, 10.4686)],
"une cour d'école de 100 m de côté": [(48.0, 2.0), (48.0, 2.0 + 0.1 / (R * cos(radians(48)) * pi / 180)),
(48.0 + 0.1 * sqrt(3) / 2 / (R * pi / 180), 2.0 + 0.05 / (R * cos(radians(48)) * pi / 180))],
}
random.seed(1902)
for nom, sommets in triangles.items():
A, B, C = (point(*s) for s in sommets)
somme = angle(A, B, C) + angle(B, C, A) + angle(C, A, B)
exces = somme - pi # ce qui dépasse 180°
print(f"{nom}\n somme des angles {degrees(somme):.6f}°, excès {degrees(exces) * 3600:.2f}″")
if exces > 1e-3: # assez grand pour que les points au hasard le trouvent
print(f" excès × R² = {exces * R * R:,.0f} km² aire mesurée = {aire_au_hasard(A, B, C):,.0f} km²")
else: # trop petit : on le prédit à partir de l'aire plane
print(f" aire = {aire_plane(A, B, C):,.3f} km² excès prévu = aire / R² = {degrees(aire_plane(A, B, C) / R**2) * 3600:.6f}″")
- Pôle Nord, Gabon, Indonésie : partez du pôle vers le sud jusqu’à l’équateur, tournez à angle droit, suivez l’équateur sur 90° de longitude, puis remontez au pôle. Les trois angles sont droits : la somme vaut 270°. Le triangle couvre un huitième de la Terre, 63,8 millions de km², et les points jetés au hasard trouvent 63,7 millions.
- Paris, Moscou, Le Caire : la somme vaut 184,99°. L’excès, 5°, correspond à une aire de 3,54 millions de km², et les points au hasard en mesurent 3,56 millions.
- Brocken, Hoher Hagen, Inselsberg : trois sommets d’Allemagne distants de 70 à 110 km. La somme des angles dépasse 180° d’environ 15 secondes d’arc, soit quatre millièmes de degré.
- Une cour d’école, triangle équilatéral de 100 m de côté : l’excès vaut deux cent-millièmes de seconde d’arc. Aucun rapporteur, aucun instrument ne le verra jamais.
C’est exactement l’argument que Poincaré prête à ceux qui doutent d’Euclide. Si l’expérience nous apprend que la somme vaut deux droits, « c’est parce que nous n’opérons que sur des triangles trop petits ». Dans une cour d’école, une géométrie courbe et une géométrie plate sont indiscernables.
Une géométrie n’est pas plus vraie qu’une autre
Alors, laquelle est la vraie ? C’est ici que Poincaré prend la position qui a fait sa réputation de philosophe. Les axiomes de la géométrie ne sont ni des vérités imposées à l’esprit, sinon on n’aurait pas pu construire d’autres géométries, ni des faits d’expérience, sinon la géométrie serait sans cesse révisée comme la physique. Il conclut :
Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n’est limité que par la nécessité d’éviter toute contradiction.
Demander si la géométrie d’Euclide est vraie n’a donc « aucun sens ». « Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode. »
Et il fait un pronostic : « la géométrie euclidienne est et restera la plus commode ». Elle est la plus simple, comme un polynôme du premier degré est plus simple qu’un polynôme du second, et elle convient aux solides avec lesquels nous fabriquons nos instruments de mesure.
Ce qu’on lit aujourd’hui
« Et restera » : treize ans plus tard, la physique a choisi autrement. En 1915, la relativité générale d’Einstein décrit la gravitation comme une courbure de l’espace-temps. Pour les physiciens, la géométrie la plus commode n’est plus celle d’Euclide dès qu’il s’agit de gravitation. Einstein a pourtant rendu justice à Poincaré. Dans sa conférence La Géométrie et l’Expérience (1921), il discute longuement sa thèse et lui donne raison sur le principe. On peut toujours garder Euclide, à condition de compliquer la physique, par exemple en supposant que les règles se déforment. Le désaccord porte sur le choix de la convention la plus commode, et c’est justement ce que Poincaré disait qu’il fallait trancher.
Gauss a-t-il mesuré la courbure de l’espace ? On raconte souvent que Gauss, vers 1820, aurait mesuré les angles du triangle Brocken, Hoher Hagen, Inselsberg pour tester la géométrie d’Euclide. Il dirigeait bien la triangulation du royaume de Hanovre, et ce triangle en faisait partie. Mais les historiens discutent encore de l’intention qu’on lui prête : rien dans ses écrits ne prouve qu’il ait voulu tester Euclide. L’excès d’environ 15 secondes, lui, était bien connu des géomètres : il vient de la rondeur de la Terre et on le corrigeait dans les calculs. Il ne dit rien de la forme de l’espace lui-même.
Ce que ça change, concrètement
Dire d’où vient le 180°. La démonstration de cinquième utilise les angles alternes-internes, donc le postulat des parallèles. Le préciser ne coûte qu’une phrase, et cela change le statut du résultat : ce n’est pas une évidence, c’est la conséquence d’un choix. Le cours Triangles et angles et les questions flash sur la somme des angles du site peuvent s’ouvrir sur cette nuance.
Faire tracer un triangle sur un ballon. Trois traits au feutre sur un ballon de basket, un rapporteur souple ou un simple gabarit en papier, et la classe constate que la somme dépasse 180°. Le triangle aux trois angles droits, du pôle à l’équateur, se trace en une minute sur un globe.
Parler de convention sans relativisme. La thèse de Poincaré n’est pas « tout se vaut ». Les conventions sont contraintes par la logique et guidées par l’expérience, et l’une est plus commode que l’autre selon ce qu’on veut faire. Le GPS en est un bon exemple : on calcule sur le globe pour les distances, dans le plan pour la carte, et en relativité pour les horloges des satellites.
À vous
- présentez-vous le postulat des parallèles comme un choix, ou comme une évidence ?
- avez-vous déjà fait mesurer les angles d’un triangle sur une sphère ? Qu’en ont retenu les élèves ?
- et la question qui fâche : si une géométrie n’est pas plus vraie qu’une autre, qu’enseigne-t-on vraiment quand on enseigne celle d’Euclide ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. L’épisode précédent, tiré du même livre, portait sur le raisonnement par récurrence. On y voyait déjà la différence entre une vérité de l’arithmétique, qui s’impose, et un axiome de géométrie, qu’on peut remplacer. Tous les épisodes : la série complète.
« Les géométries non euclidiennes », chapitre III de La Science et l’Hypothèse (Flammarion, 1902). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier, La Science et l’Hypothèse existe en poche chez Champs, présentée par Étienne Ghys.