Rome, 10 avril 1908. Le quatrième Congrès international des mathématiciens attend la conférence de Poincaré, « L’avenir des mathématiques ». Il ne peut pas la prononcer : tombé malade pendant le congrès, il laisse son collègue Gaston Darboux la lire à sa place. Huit ans plus tôt, à Paris, Hilbert avait répondu à la même question par une liste de vingt-trois problèmes. Poincaré, lui, ne dresse pas de liste. Il explique comment les mathématiciens choisissent ce qui vaut la peine d’être cherché, et la réponse tient en une formule restée célèbre : les mathématiques sont « l’art de donner le même nom à des choses différentes ».
Choisir parmi des millions de combinaisons
Poincaré part d’un constat. Les mathématiques peuvent produire à l’infini des résultats nouveaux, et si elles se développaient « dans tous les sens », leurs richesses deviendraient un « fatras aussi impénétrable que l’était pour l’ignorant la vérité inconnue ». Il faut donc choisir. Faut-il laisser les physiciens et les ingénieurs passer commande ? Non, répond-il : « si nous n’avions pas cultivé les sciences exactes pour elles-mêmes, nous n’aurions pas créé l’instrument mathématique, et le jour où serait venu le mot d’ordre du physicien, nous aurions été désarmés. »
Alors, comment choisir ? Un résultat isolé ne vaut rien, dit-il, et la pique vise directement les lecteurs de ce blog :
Des éléments variés dont nous disposons, nous pouvons faire sortir des millions de combinaisons différentes ; mais une de ces combinaisons, tant qu’elle est isolée, est absolument dépourvue de valeur ; nous nous sommes souvent donné beaucoup de peine pour la construire, mais cela ne sert absolument à rien, si ce n’est peut-être à donner un sujet de devoir pour l’enseignement secondaire.
Henri Poincaré, « L’avenir des mathématiques », 1908
Tout change quand ce résultat prend place parmi d’autres qui lui ressemblent, et qu’on a remarqué la ressemblance. On ne tient plus un fait, on tient une loi. Et le vrai découvreur, dit Poincaré, n’est pas celui qui a construit les exemples un par un, c’est celui qui a vu leur parenté : « Le premier n’aura vu que le fait brut, l’autre seul aura senti l’âme du fait. »
6 × 7 = 42, ou l’économie de pensée
Pour mesurer ce que vaut un résultat, Poincaré emprunte au physicien Ernst Mach une idée simple : la science produit de l’économie de pensée, comme la machine produit de l’économie d’effort. Son exemple est la table de multiplication :
Quelqu’un autrefois a reconnu, avec des cailloux ou autrement, que 6 fois 7 font 42 et il a eu l’idée de noter le résultat, et c’est pour cela que nous n’avons pas besoin de recommencer. Celui-là n’a pas perdu son temps si même il ne calculait que pour son plaisir ; son opération ne lui a pris que deux minutes ; elle en aurait exigé en tout deux milliards, si un milliard d’hommes avait dû la recommencer après lui.
Deux milliards de minutes, c’est plus de 3 800 ans. D’où sa définition : « L’importance d’un fait se mesure donc à son rendement, c’est-à-dire à la quantité de pensée qu’elle nous permet d’économiser. » Une formule d’algèbre en est l’exemple le plus simple. Un seul calcul avec des lettres dispense de recommencer tous les calculs avec des nombres.
L’élégance, qu’on pourrait prendre pour un luxe, sert le même but. Une démonstration élégante est courte et harmonieuse, on la voit d’un seul coup d’œil, donc on voit aussi ce qu’il faudrait changer pour l’appliquer ailleurs. C’est pour cela qu’après un long calcul qui aboutit à un résultat simple, on n’est pas satisfait tant qu’on n’a pas compris pourquoi il fallait s’y attendre. Le long calcul ne resservira pas, le raisonnement court resservira.
Donner le même nom à des choses différentes
Le moyen le plus puissant d’économiser la pensée, c’est de trouver le bon mot. Poincaré cite une notion d’analyse, l’uniformité de la convergence, qui a rendu inutiles toute une famille de longs raisonnements : il suffisait désormais de la nommer. Puis vient la phrase :
Je ne sais si je n’ai pas déjà dit quelque part que la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes. Il convient que ces choses, différentes par la matière, soient semblables par la forme, qu’elles puissent, pour ainsi dire, se couler dans le même moule.
Un exemple de collège montre ce qu’il veut dire. Voici quatre problèmes qui n’ont rien à voir entre eux :
- n personnes se serrent la main, chacune une fois avec chaque autre : combien de poignées de main ?
- n équipes jouent un championnat où chacune rencontre chaque autre une fois : combien de matchs ?
- n points sur un cercle sont reliés deux à deux : combien de segments ?
- combien vaut la somme 1 + 2 + \dots + (n - 1) ?
Le programme les traite séparément, chacun avec sa propre méthode : il fait se serrer des mains, il établit un calendrier, il trace des segments, il additionne. Puis il compare les résultats.
from itertools import combinations, permutations
# 1. Le calcul de Poincaré : 6 × 7 = 42, noté une fois pour toutes.
minutes = 2 * 1_000_000_000 # deux minutes, recommencées par un milliard d'hommes
ans = minutes / 60 / 24 / 365.25
print(f"6 × 7 recommencé par tous : {minutes:_} minutes, soit {ans:_.0f} ans".replace("_", " "))
# 2. Quatre problèmes différents par la matière…
def poignees_de_main(n):
"""Chaque personne serre la main de chaque autre, une seule fois."""
return sum(1 for a, b in permutations(range(n), 2) if a < b)
def matchs_de_championnat(n):
"""Chaque équipe rencontre chaque autre (matchs aller seulement)."""
calendrier = set()
for equipe in range(n):
for adversaire in range(n):
if equipe != adversaire:
calendrier.add(frozenset((equipe, adversaire)))
return len(calendrier)
def segments(n):
"""On relie deux à deux n points placés sur un cercle."""
return len(list(combinations(range(n), 2)))
def escalier(n):
"""1 + 2 + … + (n − 1) : chaque nouveau venu apporte autant de cas qu'il y a d'anciens."""
return sum(range(1, n))
# 3. … et un seul moule : n(n − 1)/2.
for n in (2, 5, 10, 22, 100):
resultats = {poignees_de_main(n), matchs_de_championnat(n), segments(n), escalier(n)}
print(f"n = {n:3} : {resultats} n(n−1)/2 = {n * (n - 1) // 2}")
Les quatre méthodes donnent toujours le même nombre : 10 pour 5, 45 pour 10, 231 pour un championnat de 22 équipes, 4 950 pour 100. Les quatre problèmes n’en font qu’un. Il s’agit chaque fois de choisir deux objets parmi n, sans tenir compte de l’ordre, et la réponse est toujours \frac{n(n-1)}{2}. Le jour où l’on a donné un nom à cette opération, « choisir 2 parmi n », on n’a plus eu à résoudre quatre problèmes, ni quarante : on en résout un seul, une fois pour toutes. C’est exactement le « moule » de Poincaré. Poincaré le dit : quand le langage est bien choisi, les démonstrations faites pour un objet « s’appliquent immédiatement » aux autres, et « on n’a rien à y changer, pas même les mots ».
Ce qu’on lit aujourd’hui
« La machine peut mordre sur le fait brut, l’âme du fait lui échappera toujours. » Poincaré juge vain de vouloir remplacer le mathématicien par un procédé mécanique : ce qui compte, dit-il, « ce n’est pas seulement l’ordre, c’est l’ordre inattendu ». Depuis, les machines ont pris une place qu’il n’imaginait pas. En 1976, le théorème des quatre couleurs est démontré avec l’aide d’un ordinateur, qui examine près de deux mille configurations. Des logiciels vérifient aujourd’hui des démonstrations entières, pas à pas. En 2024, un programme de DeepMind a obtenu aux Olympiades internationales de mathématiques un score digne d’une médaille d’argent. La frontière qu’il traçait entre le fait brut et l’âme du fait se discute donc à nouveau. Sa question, elle, reste la bonne : qui choisit ce qui vaut la peine d’être cherché ?
La pomme de Newton était peut-être vraie. Poincaré écrit que l’anecdote « n’est probablement pas vraie, mais elle est symbolique ». Elle vient pourtant de Newton lui-même. Son ami William Stukeley raconte, dans des souvenirs rédigés en 1752, que Newton lui en avait parlé en 1726, sous les pommiers d’un jardin. Newton a pu embellir le souvenir soixante ans après les faits, mais l’histoire n’a pas été inventée par ses admirateurs.
Ce que ça change, concrètement
Donner un sens aux tables. L’argument des deux milliards de minutes se raconte à une classe de sixième qui trouve inutile d’apprendre ses tables. On ne les apprend pas pour les réciter : on les apprend pour ne pas avoir à refaire le calcul. Les séries de calcul mental du site servent exactement à ça.
Faire trouver le moule. Donner les quatre problèmes à quatre groupes différents, puis faire comparer les réponses, est une séance qui fonctionne. La surprise de trouver les mêmes nombres est le moment où l’on comprend à quoi sert une formule. C’est le bon moment pour introduire les écritures littérales en cinquième : une lettre, c’est un nom donné à tous les nombres à la fois.
Se méfier du devoir « isolé ». La pique de Poincaré contre les sujets de devoir est méritée quand l’exercice ne mène nulle part. Un exercice qui fait remarquer une ressemblance avec un autre vaut mieux que trois exercices bien réussis qui ne se parlent pas.
À vous
- quel est votre exemple préféré de « même nom pour des choses différentes » ?
- combien de vos exercices ne servent, comme dit Poincaré, qu’à « donner un sujet de devoir » ?
- et la question qui fâche : si les machines trouvent un jour des démonstrations, que restera-t-il à enseigner ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. Ce chapitre précède, dans Science et méthode, la conférence sur l’invention mathématique, qui reprend l’idée du choix parmi les combinaisons. Tous les épisodes : la série complète.
« L’avenir des mathématiques », conférence au Congrès international des mathématiciens de Rome, lue par Gaston Darboux le 10 avril 1908, et reprise au chapitre II du livre premier de Science et méthode (Flammarion, 1908). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier : Science et méthode aux Éditions Ducourt ; et, pour commencer Poincaré en poche, La Science et l’Hypothèse chez Champs, présentée par Étienne Ghys.