En 1912, quelques mois avant sa mort, Poincaré publie un article au titre qui paraît sans réponse : « Pourquoi l’espace a trois dimensions ». Il sera repris l’année suivante dans Dernières pensées, le recueil posthume. Avant d’en venir aux dimensions, il fait un détour par une formule que tous les professeurs de géométrie connaissent : « On a dit souvent que la géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites. » Et il se demande ce qu’est, au juste, une figure mal faite.
Trois géométries et un dessinateur maladroit
Poincaré distingue trois géométries selon ce qu’elles regardent. La géométrie métrique mesure les distances : deux figures y sont équivalentes si elles sont superposables. La géométrie projective ne s’intéresse qu’aux droites : deux figures sont équivalentes si l’une est la perspective de l’autre. La troisième ne mesure plus rien du tout. On l’appelait alors l’Analysis Situs, nous l’appelons aujourd’hui la topologie. Deux figures y sont équivalentes si l’on peut passer de l’une à l’autre par une déformation continue, sans déchirer ni recoller. Un cercle vaut une ellipse ou n’importe quelle courbe fermée, mais pas un segment, qui n’est pas fermé. Une sphère vaut n’importe quelle surface bombée, mais pas un tore, « parce que dans un tore il y a un trou et que dans une sphère il n’y en a pas ».
Pour faire sentir la différence, il imagine un modèle et sa copie par un dessinateur maladroit : les proportions sont fausses, les droites tremblent. Pour la géométrie métrique, les deux figures n’ont rien de commun. Pour la topologie, elles sont identiques. Et c’est cela qui explique la formule :
Mais qu’est-ce qu’une figure mal faite ? c’est celle que peut exécuter le dessinateur maladroit dont nous parlions tout à l’heure ; il altère les proportions plus ou moins grossièrement ; ses lignes droites ont des zigzags inquiétants ; ses cercles présentent des bosses disgracieuses ; tout cela ne fait rien, cela ne troublera nullement le géomètre, cela ne l’empêchera pas de bien raisonner. Mais il ne faut pas que l’artiste inexpérimenté représente une courbe fermée par une courbe ouverte, trois lignes qui se coupent en un même point par trois lignes qui n’aient aucun point commun, une surface trouée par une surface sans trou.
Henri Poincaré, Dernières pensées, 1913
La conclusion est d’une grande portée pour qui enseigne. Une figure au tableau peut être aussi fausse qu’on veut pour les longueurs et les angles. Elle doit être juste pour tout ce qui touche à la topologie : ce qui est fermé, ce qui se coupe, ce qui a un trou. C’est là seulement que l’intuition travaille, et c’est pour elle qu’on dessine.
Deux théorèmes qui résistent à toutes les déformations
Pour montrer à quoi ressemble un théorème de topologie, Poincaré en cite deux :
deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points ; si un polyèdre est convexe, c’est-à-dire si on ne peut tracer une courbe fermée sur sa surface sans la couper en deux, le nombre des arêtes est égal à celui des sommets, plus celui des faces, moins deux ; et cela reste vrai quand les faces et les arêtes de ce polyèdre sont courbes.
Le second est la relation d’Euler, qu’on écrit plutôt S - A + F = 2 avec S sommets, A arêtes et F faces. Le programme vérifie les deux. Il compte les sommets, arêtes et faces de plusieurs polyèdres, puis il dessine au hasard 2 000 paires de courbes fermées « d’une main tremblante » et compte leurs points de croisement :
import random
from math import cos, sin, pi
# 1. « Le nombre des arêtes est égal à celui des sommets, plus celui des faces, moins deux. »
# On compte sommets S, arêtes A et faces F, et on calcule S − A + F.
polyedres = {
"tétraèdre": (4, 6, 4),
"cube": (8, 12, 6),
"octaèdre": (6, 12, 8),
"dodécaèdre": (20, 30, 12),
"icosaèdre": (12, 30, 20),
"ballon de football": (60, 90, 32), # 12 pentagones et 20 hexagones
"cadre troué (tore)": (16, 32, 16), # un cube percé d'un tunnel carré
}
for nom, (S, A, F) in polyedres.items():
print(f"{nom:22} S − A + F = {S - A + F}")
# 2. « Deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points. »
# On dessine au hasard des courbes fermées cabossées, et on compte leurs croisements.
def courbe_mal_faite(cx, cy):
"""Un « cercle » tracé d'une main tremblante : 40 points à rayon irrégulier."""
return [(cx + (1 + 0.6 * random.random()) * cos(2 * pi * k / 40),
cy + (1 + 0.6 * random.random()) * sin(2 * pi * k / 40)) for k in range(40)]
def se_coupent(p, q, r, s):
"""Les segments [pq] et [rs] se croisent-ils ?"""
def cote(a, b, c):
return (b[0] - a[0]) * (c[1] - a[1]) - (b[1] - a[1]) * (c[0] - a[0])
return cote(p, q, r) * cote(p, q, s) < 0 and cote(r, s, p) * cote(r, s, q) < 0
def croisements(C1, C2):
n1, n2 = len(C1), len(C2)
return sum(se_coupent(C1[i], C1[(i + 1) % n1], C2[j], C2[(j + 1) % n2])
for i in range(n1) for j in range(n2))
random.seed(1912)
comptes = [croisements(courbe_mal_faite(0, 0), courbe_mal_faite(random.uniform(-2, 2), random.uniform(-2, 2)))
for _ in range(2000)]
print("nombres de croisements rencontrés :", sorted(set(comptes)))
print("un nombre impair est-il apparu ?", any(c % 2 for c in comptes))
Pour les cinq polyèdres réguliers comme pour le ballon de football, avec ses 12 pentagones et ses 20 hexagones, on trouve S - A + F = 2. Pour un cube percé d’un tunnel carré, on trouve 0. La formule d’Euler ne dépend ni des longueurs ni des angles : elle ne dépend que du nombre de trous. C’est pour cela que Poincaré précise qu’elle vaut pour les polyèdres convexes, ceux qui n’ont pas de trou. Quant aux courbes cabossées, elles se croisent 0, 2, 4… jusqu’à 28 fois, mais jamais un nombre impair de fois. Chaque fois qu’une courbe entre dans l’autre, elle doit en ressortir.
Compter les dimensions avec des coupures
Reste la question du titre. Que veut dire « l’espace a trois dimensions » ? La réponse habituelle, trois coordonnées, ne satisfait pas Poincaré : elle est correcte, mais elle ne dit pas pourquoi. Il propose une définition qui ne fait appel à aucune mesure, seulement à l’idée de couper. Deux points suffisent à couper une courbe fermée en deux morceaux. Sur une surface, des points ne suffisent plus, parce qu’on peut les contourner : il faut tracer des lignes. Dans l’espace, on contourne aussi les lignes, et il faut des surfaces :
Il faudra interdire de franchir certaines surfaces, c’est-à-dire certaines coupures à deux dimensions ; et c’est pour cela que nous disons que l’espace a trois dimensions.
D’où la définition générale : « Un continu a n dimensions quand on peut le décomposer en plusieurs parties en y pratiquant une ou plusieurs coupures qui soient elles-mêmes des continus à n-1 dimensions. » Il remarque que c’est une définition par récurrence, et qu’elle rejoint l’intuition des vieux manuels. On y définissait les volumes comme des portions d’espace, les surfaces comme les frontières des volumes, les lignes comme celles des surfaces et les points comme celles des lignes.
Ce qu’on lit aujourd’hui
La formule n’est pas de lui. « La géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites » est presque toujours attribuée à Poincaré. Il la présente pourtant comme un mot connu, « On a dit souvent », sans en nommer l’auteur. Ce qui lui appartient, c’est l’analyse qui suit : il explique quels défauts du dessin sont sans gravité et lesquels rendent le raisonnement impossible. La formule circulait avant lui ; l’explication est de lui.
La définition des dimensions avait une faille. Prenez deux cônes posés pointe contre pointe, comme un sablier. Il suffit de retirer un seul point, la pointe commune, pour le couper en deux morceaux. Selon la définition de Poincaré, ce double cône aurait donc une seule dimension, comme une courbe, ce qui est absurde. Frédéric Riesz l’avait signalé dès 1909, et Brouwer le reprend en 1913 pour proposer une version corrigée, qui ne se contente pas d’une coupure mais examine ce qui se passe autour de chaque point. Menger et Urysohn en tirent dans les années 1920 la théorie de la dimension qu’on enseigne encore. L’idée de Poincaré, définir la dimension par les coupures et par récurrence, a survécu ; sa formulation a dû être réparée.
Ce que ça change, concrètement
Dire ce qu’une figure à main levée a le droit de fausser. Les élèves croient souvent qu’une figure doit être exacte pour qu’on puisse raisonner dessus, ou au contraire qu’on peut tout lire sur une figure. La règle de Poincaré est claire : les longueurs et les angles peuvent être faux, mais pas ce qui se coupe, ce qui est fermé, ce qui a un trou. C’est une consigne utile pour toutes les figures codées du collège.
Faire compter S − A + F. Sur les solides de sixième ou sur les prismes de cinquième, faire remplir un tableau sommets, arêtes, faces, puis calculer S - A + F, est une petite enquête qui plaît toujours. Tout le monde trouve 2, et c’est au professeur de sortir ensuite un cadre photo, une bague ou une tasse pour montrer que le trou change tout.
Parler des dimensions sans coordonnées. En troisième, la géométrie dans l’espace repère les points avec trois nombres. La définition par les coupures montre la même idée autrement : un point coupe une ficelle, un trait coupe une feuille, une cloison coupe une pièce. C’est une façon de faire sentir pourquoi trois, et pas deux ou quatre.
À vous
- que tolérez-vous dans une figure à main levée, et que refusez-vous ?
- avez-vous déjà fait découvrir la relation d’Euler à une classe ? Avec quel solide surprise ?
- et la question qui fâche : nos figures « exactes » aident-elles les élèves à raisonner, ou les dispensent-elles de le faire ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. Cet épisode ouvre le dernier, Dernières pensées. La définition par récurrence rappelle l’épisode sur le raisonnement par récurrence, et le dessinateur maladroit celui sur les définitions et l’enseignement. Tous les épisodes : la série complète.
« Pourquoi l’espace a trois dimensions », paru dans la Revue de métaphysique et de morale en 1912 et repris comme chapitre III de Dernières pensées (Flammarion, 1913). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion de 1920. Pour le lire sur papier : Dernières pensées en édition annotée aux Éditions Dupleix, ou en réimpression chez Forgotten Books.