En 1904, le Musée pédagogique organise à Paris une série de conférences pour les professeurs de lycée. La réforme de 1902 vient de bouleverser l’enseignement secondaire, et l’on demande à Poincaré de parler des définitions en mathématiques. Il annonce d’emblée qu’il va sortir de son sujet et « marcher de temps en temps dans les plates-bandes à droite ou à gauche ». Le texte, repris quatre ans plus tard dans Science et méthode, est l’un des plus directs jamais écrits par un grand mathématicien sur ce qui se passe dans une salle de classe.
Sa question de départ tient en deux phrases, et elle suffit à changer de point de vue :
Qu’est-ce qu’une bonne définition ? Pour le philosophe, ou pour le savant, c’est une définition qui s’applique à tous les objets définis et ne s’applique qu’à eux ; c’est celle qui satisfait aux règles de la logique. Mais dans l’enseignement, ce n’est pas cela ; une bonne définition, c’est celle qui est comprise par les élèves.
Henri Poincaré, « Les définitions mathématiques et l’enseignement », 1904
Ceux qui vérifient, ceux qui veulent voir
Tout le chapitre repose sur une observation : le mot « comprendre » n’a pas le même sens pour tout le monde. Certains élèves vérifient que chaque étape d’une démonstration est correcte, puis disent « j’ai compris ». La plupart en demandent davantage : ils veulent savoir pourquoi les étapes viennent dans cet ordre-là. Tant que les raisonnements leur semblent « engendrés par le caprice, et non par une intelligence constamment consciente du but à atteindre, ils ne croient pas avoir compris ».
D’autres encore veulent une image derrière chaque mot, et Poincaré les décrit avec une précision qui fera sourire tous ceux qui ont surveillé un contrôle de géométrie : « ils n’écoutent pas les raisonnements, ils regardent les figures ; ils s’imaginent avoir compris et ils n’ont fait que voir. »
Faut-il corriger ces tempéraments ? Non, répond-il, et ce ne serait d’ailleurs pas souhaitable. Les mathématiciens eux-mêmes se partagent entre « les logiciens comme Weierstrass, par exemple, les intuitifs comme Riemann », et « qui oserait dire s’il aimerait mieux que Weierstrass n’eût jamais écrit, ou qu’il n’y eût pas eu de Riemann » ? Sa conclusion : « Il faut donc nous résigner à la diversité des esprits, ou mieux, il faut nous en réjouir. »
La tarte, et le livre qu’on ne lira pas
Pour montrer l’écart entre les deux façons de définir, il prend deux exemples extrêmes. Le premier est la fraction. À l’école primaire, on la définit en partageant une pomme ou une tarte, « par la pensée bien entendu et non en réalité, car je ne suppose pas que le budget de l’enseignement primaire permette une pareille prodigalité ». À l’École normale supérieure, une fraction devient un couple d’entiers séparés par un trait, soumis à des règles de calcul définies par convention. Les deux définitions sont bonnes, chacune pour son public. Mais « quel serait l’ahurissement d’un débutant à qui on voudrait la servir ? »
Le second exemple est un livre paru cinq ans plus tôt, les Fondements de la géométrie de Hilbert (1899). Hilbert y parle de trois systèmes de « choses » appelées points, droites et plans, sans jamais dire ce qu’elles sont : seuls les axiomes comptent. Poincaré admire le livre, mais il a ce trait : « Voilà un livre dont je pense beaucoup de bien, mais que je ne recommanderais pas à un lycéen. Au reste, je pourrais le faire sans crainte, il ne pousserait pas la lecture bien loin. »
« Un cercle c’est un rond »
Puis il descend d’un étage, jusque dans une classe que nous connaissons tous, et c’est la scène la plus célèbre du chapitre :
Nous sommes dans une classe de quatrième ; le professeur dicte : le cercle est le lieu des points du plan qui sont à la même distance d’un point intérieur appelé centre. Le bon élève écrit cette phrase sur son cahier ; le mauvais élève y dessine des bonshommes ; mais ni l’un ni l’autre n’ont compris ; alors le professeur prend la craie et trace un cercle sur le tableau. « Ah ! pensent les élèves, que ne disait-il tout de suite : un cercle c’est un rond, nous aurions compris. »
On attend une charge contre le professeur. Elle ne vient pas : c’est lui qui a raison, dit Poincaré. La définition des élèves « n’aurait pu servir à aucune démonstration », et surtout elle ne leur aurait pas donné « la salutaire habitude d’analyser leurs conceptions ». Mais dicter la bonne définition ne suffit pas. Il faut d’abord faire sentir aux élèves que leur « rond » ne tient pas, les amener « à désirer d’eux-mêmes qu’on l’épure et le dégrossisse ».
Il ne dit pas comment s’y prendre avec le cercle. Mais il existe une figure qui fait exactement ce travail.
Un rond qui n’est pas un cercle
Tracez un triangle équilatéral de côté 1. Avec le compas, piquez sur chaque sommet et tracez l’arc qui joint les deux autres. Les trois arcs forment une figure bombée qu’on appelle le triangle de Reuleaux, du nom d’un ingénieur allemand du XIXe siècle. Pour un élève de quatrième, c’est un rond un peu bizarre. Et ce rond partage avec le cercle une propriété qui semble lui appartenir en propre : posé entre deux planches parallèles, il les touche toutes les deux quelle que soit sa position. Sa largeur est la même dans toutes les directions.
Autrement dit, on peut le faire rouler sous une planche, qui avancera sans monter ni descendre, exactement comme sur des rouleaux cylindriques. En revanche, on ne peut pas en faire une roue : aucun point de la figure n’est à la même distance de tout le bord, et un essieu placé au milieu monterait et descendrait à chaque tour. Voilà ce que dit la définition dictée, et que le « rond » ne disait pas : ce qui fait le cercle, ce n’est pas d’être rond, c’est d’avoir un centre.
Le programme ci-dessous construit la figure point par point et mesure ce que l’œil ne peut pas vérifier. Il calcule la largeur dans 360 directions, la distance au centre, le périmètre et l’aire :
from math import cos, sin, pi, sqrt, atan2, hypot
# Triangle de Reuleaux de largeur 1 : trois arcs de rayon 1,
# chacun centré sur un sommet d'un triangle équilatéral de côté 1.
A = [(cos(pi/2 + 2*pi*i/3) / sqrt(3), sin(pi/2 + 2*pi*i/3) / sqrt(3)) for i in range(3)]
contour = []
for i in range(3):
cx, cy = A[i]
b, c = A[(i+1) % 3], A[(i+2) % 3]
t1, t2 = atan2(b[1]-cy, b[0]-cx), atan2(c[1]-cy, c[0]-cx)
if t2 < t1:
t2 += 2*pi
contour += [(cx + cos(t1 + (t2-t1)*k/20000), cy + sin(t1 + (t2-t1)*k/20000)) for k in range(20000)]
# Largeur dans 360 directions : écart entre les deux droites parallèles qui l'enserrent
largeurs = []
for d in range(360):
ux, uy = cos(d*pi/180), sin(d*pi/180)
proj = [x*ux + y*uy for x, y in contour]
largeurs.append(max(proj) - min(proj))
print("largeur : de", round(min(largeurs), 6), "à", round(max(largeurs), 6))
# Distance au centre : elle, ne reste pas constante
r = [hypot(x, y) for x, y in contour]
print("rayon : de", round(min(r), 4), "à", round(max(r), 4))
# Périmètre et aire, comparés au disque de diamètre 1
n = len(contour)
perimetre = sum(hypot(contour[(k+1) % n][0]-contour[k][0], contour[(k+1) % n][1]-contour[k][1]) for k in range(n))
aire = abs(sum(contour[k][0]*contour[(k+1) % n][1] - contour[(k+1) % n][0]*contour[k][1] for k in range(n))) / 2
print("périmètre :", round(perimetre, 4), " disque :", round(pi, 4))
print("aire :", round(aire, 4), " disque :", round(pi/4, 4))
La largeur vaut 1 dans toutes les directions, à six décimales près. La distance au centre, elle, varie de 0,42 à 0,58 : ce sont les valeurs exactes 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} et \frac{1}{\sqrt{3}}. Le périmètre vaut π, exactement comme celui d’un cercle de diamètre 1. Ce n’est pas un hasard : Joseph-Émile Barbier a démontré en 1860 que toutes les courbes de largeur constante \ell ont pour périmètre \pi \ell. Seule l’aire les départage : \frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \approx 0{,}705 contre \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 pour le disque. De toutes les courbes de largeur donnée, c’est le triangle de Reuleaux qui enferme la plus petite aire, et le cercle la plus grande.
C’est exactement ce que Poincaré recommande plus loin dans le chapitre : une définition n’est comprise que si l’on a montré « non seulement l’objet défini, mais les objets voisins dont il convient de le distinguer ». Le triangle de Reuleaux est le voisin qui justifie chaque mot de la définition dictée. Les Britanniques en ont d’ailleurs dans leur porte-monnaie : leurs pièces de 20 et de 50 pence sont des heptagones de largeur constante, pour passer dans les distributeurs automatiques.
Ce qu’on lit aujourd’hui
L’argument biologique est faux, la règle pédagogique reste à juger. Poincaré justifie sa méthode par la biologie de son temps : « Les zoologistes prétendent que le développement embryonnaire d’un animal résume en un temps très court toute l’histoire de ses ancêtres », donc « l’éducateur doit faire repasser l’enfant par où ont passé ses pères ». Cette loi de la récapitulation, popularisée par Ernst Haeckel, a été abandonnée par les biologistes : l’embryon ne rejoue pas l’histoire de l’espèce. La règle pédagogique ne peut donc pas s’appuyer sur elle. Elle doit être jugée pour elle-même, et elle tient mieux que sa justification : commencer par le problème qui a fait naître une notion aide à comprendre pourquoi on l’a définie ainsi.
Soixante-cinq ans plus tard, on a fait exactement ce qu’il déconseillait. Avec la réforme des « mathématiques modernes », mise en place en France à partir de 1969-1970, les ensembles, les relations et les structures entrent à l’école et au collège. L’idée était de partir des définitions les plus générales, dans l’esprit de Hilbert, le livre que Poincaré ne recommandait pas aux lycéens. Face aux difficultés des élèves et des familles, les programmes font machine arrière dès le début des années 1980. Relu aujourd’hui, le texte de 1904 prévoyait le problème avec soixante-cinq ans d’avance.
Préparer la définition, puis la justifier
La fin du chapitre passe en revue l’arithmétique, la géométrie et la mécanique, avec une idée directrice : « il ne suffit pas d’énoncer une définition ; il faut la préparer et il faut la justifier ». Et, chaque fois que c’est possible, « la justification précédera l’énoncé et le préparera ; on sera conduit à l’énoncé général par l’étude de quelques exemples particuliers ». Pour le cercle, justement, il propose de partir de l’instrument :
Pour le cercle, on peut partir du compas ; les élèves reconnaîtront du premier coup la courbe tracée ; on leur fera observer ensuite que la distance des deux pointes de l’instrument reste constante, que l’une de ces pointes est fixe et l’autre mobile, et on sera ainsi amené naturellement à la définition logique.
La droite, elle, commence avec une règle qu’on vérifie en la retournant. Pour l’addition, il assume de ne rien définir du tout : « Ce n’est pas définir l’addition que de dire qu’elle consiste à ajouter. » On montre des exemples et on donne un nom à ce qu’on vient de faire. Et quand on admet quelques axiomes de trop pour gagner du temps, il cite le critique Francisque Sarcey : au théâtre, le spectateur accepte tous les postulats qu’on lui impose au début, « mais qu’une fois le rideau levé, il devient intransigeant sur la logique. Eh bien, c’est la même chose en mathématiques. »
Et c’est ici, au détour d’un paragraphe sur les futurs professeurs, que se trouve la phrase la plus citée du livre : « c’est par la logique qu’on démontre, c’est par l’intuition qu’on invente. »
Ce que ça change, concrètement
Faire tracer avant de faire définir. La séquence que propose Poincaré se fait en une séance : tracer au compas, observer que l’écartement ne change pas, puis écrire la définition. Les programmes de construction du site vont dans ce sens : on y apprend à tracer avant d’apprendre à rédiger.
Montrer un voisin. Découper un triangle de Reuleaux dans du carton et le faire rouler entre deux règles prend dix minutes, et donne à la définition du cercle une raison d’être. Le théorème de Barbier fournit en prime une belle surprise au moment du périmètre du cercle : deux figures différentes, un même périmètre.
Garder la tarte aussi longtemps qu’il faut. Poincaré ne reproche pas à l’école primaire de partager des tartes : il reproche à l’enseignement supérieur de vouloir servir sa définition trop tôt. Les fractions en sixième ont encore besoin de la tarte, et la définition abstraite viendra quand l’élève en sentira le besoin.
À vous
- quelle définition dictez-vous en sachant qu’elle ne sera pas comprise ? Et que faudrait-il montrer avant pour que les élèves la réclament ?
- avez-vous des élèves qui « n’ont fait que voir », convaincus d’avoir compris parce que la figure est claire ?
- et la question qui fâche : nos définitions servent-elles à faire comprendre, ou à disposer d’une phrase exacte qu’on peut exiger en contrôle ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. L’épisode précédent racontait l’idée qui monta dans l’omnibus, la conférence de 1908 sur l’invention mathématique. Tous les épisodes : la série complète.
« Les définitions mathématiques et l’enseignement », conférence donnée au Musée pédagogique en 1904 sous le titre « Les définitions générales en mathématiques », reprise au chapitre II du livre deuxième de Science et méthode (Flammarion, 1908). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier : Science et méthode aux Éditions Ducourt ; et, pour commencer Poincaré en poche, La Science et l’Hypothèse chez Champs, présentée par Étienne Ghys.