Thalès : d’abord une configuration
Avec Pythagore, la première question à poser est relativement simple : le triangle est-il rectangle, ou cherche-t-on justement à savoir s’il l’est ? Cette distinction permet déjà de choisir entre théorème, réciproque et contraposée.
Avec Thalès, il faut commencer encore un peu plus tôt. Avant de parler de rapports de longueurs, il faut identifier une configuration de Thalès.
La première information est fondamentale : deux droites sont sécantes. Leur point d’intersection joue le rôle de sommet commun. Sur chacune de ces deux droites se trouvent ensuite les points dont les positions et les alignements vont déterminer les segments à mettre en correspondance.
Selon la position de ces points, on rencontre classiquement trois configurations de Thalès. Leur aspect peut être très différent, mais la logique reste la même : partir des droites sécantes, identifier correctement les alignements, puis établir les correspondances entre les segments.
Pour un élève, cette lecture peut s’appuyer sur le dessin. Pour une intelligence artificielle, « regarder la figure » signifie surtout disposer des bonnes informations et savoir les organiser : quelles droites sont sécantes ? quels points sont alignés ? dans quel ordre ? quels segments appartiennent à une même demi-droite ?
Ce n’est qu’après cette étape que les rapports de longueurs ont un sens. Selon ce que l’on cherche à démontrer, le parallélisme sera alors une donnée du théorème de Thalès ou, au contraire, la conclusion attendue de sa réciproque.
Et c’est précisément lorsque l’on saute trop vite de quelques alignements à une égalité de rapports que les ennuis commencent.
Sait-on que les deux autres droites sont parallèles ?
Une fois les deux droites sécantes et les alignements identifiés, la question suivante organise presque tout le raisonnement : sait-on que les deux autres droites sont parallèles ?
Comme pour Pythagore, il ne s’agit pas de choisir un théorème parce que l’énoncé « ressemble à du Thalès ». Il faut d’abord regarder ce que l’on sait et ce que l’on cherche à démontrer.
- On sait que les deux droites sont parallèles.
- On est dans les conditions d’application du théorème de Thalès.
- Les rapports de longueurs correspondants sont égaux.
- On peut utiliser ces égalités pour calculer une longueur inconnue ou établir une relation entre plusieurs longueurs.
- On ne sait pas si les deux droites sont parallèles.
- Le théorème de Thalès ne peut évidemment pas être utilisé comme si le parallélisme était déjà acquis.
- Si deux rapports dont l’égalité serait imposée par le théorème de Thalès sont différents, cela suffit à conclure que les droites ne sont pas parallèles. C’est la contraposée du théorème de Thalès.
- Si, au contraire, deux rapports sont égaux, la situation est beaucoup plus délicate : une égalité numérique, à elle seule, ne prouve rien.
- Pour conclure au parallélisme grâce à la réciproque du théorème de Thalès, il faut vérifier que l’on compare les rapports correspondant réellement à la configuration et que les points sont alignés dans le même ordre.
Il existe donc une dissymétrie logique importante entre les deux raisonnements. Pour réfuter le parallélisme, il suffit de mettre en défaut une égalité que Thalès imposerait si les droites étaient parallèles. Il n’est pas nécessaire de reconstruire toute une démonstration : une seule incompatibilité suffit.
En revanche, pour démontrer le parallélisme, trouver deux quotients égaux ne suffit pas. Encore faut-il que cette égalité soit celle que la réciproque autorise à exploiter dans la configuration considérée.
On peut donc résumer le menu ainsi : parallélisme connu, théorème de Thalès ; rapports incompatibles avec Thalès, non-parallélisme ; rapports égaux, vérification rigoureuse avant toute utilisation de la réciproque.
Cette différence peut sembler subtile. Elle l’est suffisamment, en tout cas, pour qu’une intelligence artificielle puisse effectuer des calculs parfaitement exacts, constater une vraie égalité entre deux rapports… et en tirer une conclusion géométrique fausse.
Deux rapports égaux… mais pas les bons
C’est précisément sur cette branche du raisonnement que j’ai vu une intelligence artificielle se tromper.
La situation semblait pourtant favorable : deux droites sécantes, des points correctement alignés, des longueurs connues et, surtout, deux rapports numériquement égaux. L’IA a donc reconnu le schéma classique de la réciproque du théorème de Thalès et conclu au parallélisme.
Problème : les rapports qu’elle avait comparés n’étaient pas ceux qui se correspondaient dans la configuration.
Le plus amusant était que la figure elle-même rendait la conclusion très suspecte : à l’œil, les deux droites que l’IA venait de déclarer parallèles ne l’étaient manifestement pas. Bien sûr, un dessin ne constitue jamais une preuve. Mais lorsqu’un raisonnement aboutit à une conclusion aussi visiblement discordante avec la figure, cela devrait au moins déclencher une vérification.
L’erreur ne venait pourtant ni des calculs ni des données. Les quotients calculés étaient bien égaux. C’est leur signification géométrique qui avait été perdue en route.
Pour appliquer la réciproque de Thalès, il ne suffit donc pas de parcourir les longueurs disponibles jusqu’à trouver deux quotients donnant le même résultat. Les rapports doivent traduire les mêmes correspondances sur les deux droites sécantes, à partir du sommet commun, et les points doivent être disposés dans l’ordre requis.
Autrement dit, une IA peut effectuer deux divisions justes et produire une égalité exacte tout en faisant une démonstration fausse. Le calcul valide l’égalité ; il ne valide pas le choix des rapports.
C’est ici que l’exemple devient particulièrement intéressant pour une intelligence artificielle. Face à deux rapports différents, une seule incompatibilité avec les égalités qu’imposerait Thalès suffit à exclure le parallélisme. Mais face à deux rapports égaux, il faut au contraire revenir à la géométrie et vérifier que cette égalité est bien celle que la réciproque permet d’exploiter.
Cette prudence n’est pas un détail de rédaction : c’est le cœur du raisonnement.
Deux rapports égaux suffisent-ils pour appliquer la réciproque de Thalès ?
Non. Et c’est précisément l’erreur que j’ai vu commettre par une intelligence artificielle.
Considérons la figure ci-dessous. Les points A, M et B sont alignés, de même que les points A, N et C, et dans le même ordre. Les longueurs indiquées donnent :
. Il faut comprendre quels rapports peuvent servir d’hypothèses dans la réciproque et quel rôle géométrique joue chacun des segments.
Sur cette figure, on a bien :\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
et :\frac{MN}{BC}=\frac{2}{5}
Donc :\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}
La tentation est grande d’invoquer la réciproque du théorème de Thalès pour conclure que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Ce serait faux. À l’œil déjà, la conclusion paraît pour le moins suspecte.
La réciproque demande de comparer les rapports portés par les deux droites sécantes, ici :\frac{AM}{AB}\quad\text{et}\quad\frac{AN}{AC}
Le quadrillage permet de retrouver les coordonnées A(0;0), N(4;2) et C(6;3). Ainsi :AN=2\sqrt{5}\qquad\text{et}\qquad AC=3\sqrt{5}
donc :\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}\neq\frac{2}{5}=\frac{AM}{AB}
Les droites (MN) et (BC) ne sont donc pas parallèles.
L’égalité entre les deux premiers rapports était parfaitement exacte : c’est son utilisation dans la réciproque qui était incorrecte. Voilà précisément le piège dans lequel j’ai vu tomber une IA.
Ce que l’IA doit retenir
Avec Thalès, le bon réflexe n’est pas de chercher une égalité de rapports, mais de lire d’abord la configuration.
- Deux droites doivent être sécantes.
- Il faut identifier correctement les points alignés et leur ordre.
- Si le parallélisme est connu, on peut utiliser le théorème de Thalès.
- Si deux rapports que Thalès imposerait sont différents, cela suffit à exclure le parallélisme.
- Si deux rapports sont égaux, cette égalité ne permet de conclure au parallélisme que si ce sont les bons rapports, ceux portés par les deux droites sécantes et correspondant à la configuration.
Autrement dit, une IA ne doit pas raisonner ainsi :
« Je vois deux rapports égaux, donc j’applique la réciproque de Thalès. »
Elle doit plutôt se demander :
« Quels sont les rapports pertinents dans cette configuration, et les hypothèses de la réciproque sont-elles réellement vérifiées ? »
Le calcul peut être parfaitement juste et le raisonnement parfaitement faux. Dans un problème de géométrie, la valeur d’un quotient ne remplace jamais le sens des segments que l’on compare.
C’est sans doute cela, au fond, qu’il faut expliquer aux IA : avec Thalès, les rapports ne sont pas seulement numériques, ils sont géométriques.