Les nœuds de Lewis Carroll
Deux voyageurs quittent leur auberge à trois heures de l’après-midi. Ils marchent sur une route horizontale, gravissent une montagne, puis reviennent exactement par le même chemin. À neuf heures du soir, ils sont de retour.
Nous connaissons leurs vitesses, mais pas la forme de leur parcours. Pourtant, Lewis Carroll affirme que nous pouvons déterminer la distance totale parcourue. Voici le premier nœud de son Conte embrouillé.
Quand Lewis Carroll cachait des Mathématiques dans ses histoires
Entre 1880 et 1885, Lewis Carroll publie dans le magazine britannique The Monthly Packet dix petites histoires contenant des problèmes d’arithmétique, d’algèbre ou de géométrie. Il les appelle des knots, des « nœuds » que ses lecteurs doivent démêler.
Quelques mois plus tard, il donne les solutions, classe les participants et commente leurs raisonnements. Il félicite les meilleurs, relève les erreurs et se montre parfois suffisamment moqueur pour provoquer les protestations de certains correspondants.
Ces récits sont réunis en 1885 sous le titre A Tangled Tale. Le texte anglais original est aujourd’hui librement accessible sur Project Gutenberg.
Pour ce premier nœud, intitulé Excelsior, Carroll nous emmène sur une route de montagne.
Deux voyageurs, trois vitesses
Le soleil disparaît derrière la montagne lorsque deux voyageurs prennent le chemin du retour. Le plus jeune descend avec entrain, tandis que son compagnon, encombré par son armure, peine à suivre.
Au cours de leur conversation, nous apprenons qu’ils marchent :
- à 4 km/h sur une route horizontale ;
- à 3 km/h lorsqu’ils montent ;
- à 6 km/h lorsqu’ils descendent.
Ils ont quitté leur auberge à 15 heures et y reviennent à 21 heures. Ils n’ont fait aucune pause et sont revenus exactement par le même chemin.
Deux questions se posent alors :
- Quelle distance totale ont-ils parcourue entre 15 heures et 21 heures ?
- À quelle heure ont-ils atteint le sommet de la montagne ?
À vous de démêler le nœud avant de poursuivre.
Une route dont nous ne savons presque rien
Le problème semble incomplet. Carroll ne précise ni la longueur de la partie horizontale ni celle de la montée.
On pourrait choisir une inconnue pour chacune de ces distances et écrire plusieurs équations. Mais une observation permet d’aller beaucoup plus vite.
Considérons un kilomètre de montée.
À 3 km/h, il faut :
\frac{1}{3}\text{ heure}pour le parcourir.
Au retour, ce même kilomètre est descendu à 6 km/h. Il demande alors :
\frac{1}{6}\text{ heure}L’aller et le retour sur ce kilomètre de montagne prennent donc au total :
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\text{ heure}Regardons maintenant un kilomètre de route horizontale. Il est parcouru une fois à l’aller et une fois au retour, soit deux kilomètres à 4 km/h :
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\text{ heure}Nous obtenons le même résultat.
Qu’un kilomètre du trajet soit horizontal ou en pente, son aller-retour demande toujours une demi-heure.
La distance cachée dans les vitesses
Les voyageurs ont marché pendant six heures, de 15 heures à 21 heures.
Chaque kilomètre du trajet aller, accompagné du même kilomètre au retour, occupe une demi-heure. Ils ont donc effectué :
6\div\frac{1}{2}=12kilomètres à l’aller.
Le retour empruntant exactement le même chemin, sa longueur est également de 12 km.
La distance totale parcourue est donc :
12+12=24\text{ km}Il n’était pas nécessaire de connaître la longueur de la route horizontale ni celle de la montagne. Carroll a choisi les trois vitesses pour que les durées d’un aller-retour soient identiques dans les deux situations.
À quelle heure ont-ils atteint le sommet ?
La seconde question est plus trompeuse.
Nous savons qu’ils ont parcouru 12 km à l’aller. Si le trajet était presque entièrement horizontal, ces 12 km auraient demandé un peu plus de trois heures : le sommet aurait été atteint peu après 18 heures.
Si le trajet était presque entièrement en montée, il aurait fallu un peu moins de quatre heures : ils auraient atteint le sommet peu avant 19 heures.
Nous pouvons donc affirmer qu’ils sont arrivés au sommet entre 18 heures et 19 heures.
Mais aucune donnée ne permet de déterminer une heure précise.
C’est ici que le problème devient particulièrement intéressant. Plusieurs lecteurs de Carroll trouvèrent correctement les 24 miles de l’original, puis inventèrent sans s’en rendre compte une information supplémentaire : certains supposèrent qu’il n’existait aucune portion horizontale, d’autres lui attribuèrent une longueur particulière.
Ils obtenaient ainsi une heure précise, mais répondaient à un problème différent de celui qui avait été posé.
Trouver un résultat ou comprendre les données ?
Le premier nœud de Lewis Carroll ne porte donc pas seulement sur les vitesses. Il invite à distinguer trois choses :
- ce que les données permettent de calculer exactement ;
- ce qu’elles permettent seulement d’encadrer ;
- ce qu’elles ne permettent pas de connaître.
La distance totale vaut nécessairement 24 km.
L’heure d’arrivée au sommet est comprise entre 18 heures et 19 heures.
La répartition entre route horizontale et montée reste inconnue.
Plus de cent quarante ans après sa publication, ce problème conserve ainsi une étonnante modernité : résoudre ne consiste pas toujours à produire un nombre. Cela consiste aussi à savoir jusqu’où les informations nous autorisent à aller.
Et vous, aviez-vous trouvé les 24 km sans ajouter une route que Lewis Carroll n’avait jamais décrite ?