Exercice ou problème : de quoi parlons-nous ?
Avant de chercher comment faire résoudre des problèmes aux élèves, encore faut-il nous demander ce que nous appelons un exercice et ce que nous appelons un problème.
Le mot exercice évoque naturellement l’entraînement. On exerce une capacité comme on exerce son corps : par une activité répétée qui permet de l’acquérir, de la consolider ou de la rendre plus aisément mobilisable. Dans la classe de Mathématiques, l’exercice semble ainsi appartenir au domaine de l’application : calculer une fraction, résoudre une équation, utiliser le théorème de Pythagore.
Le mot problème paraît désigner autre chose. Hérité du grec, il évoque ce qui est placé devant nous, ce qui fait obstacle et appelle une réponse. Un problème ne nous demande pas seulement d’exécuter correctement une procédure : il nous oblige à déterminer quelle procédure pourrait convenir, à choisir une direction, à essayer, parfois à revenir en arrière.
L’opposition semble alors évidente : dans un exercice, le chemin serait connu ; dans un problème, il resterait à construire.
Mais cette frontière résiste mal à l’usage. Les enseignants parlent légitimement d’exercices de recherche. Un exercice n’est donc pas nécessairement une tâche mécanique, pas plus qu’un problème ne garantit à lui seul une véritable activité de recherche. Les deux mots ne décrivent peut-être pas la même dimension du travail scolaire.
L’exercice peut désigner le cadre proposé par le professeur : une activité choisie dans une intention d’apprentissage. Le problème désignerait plutôt ce qui, dans cette activité, résiste effectivement à l’élève. Un exercice peut ainsi contenir un problème, plusieurs problèmes, ou ne plus faire problème du tout lorsque la méthode est devenue familière.
Cette interrogation sur les mots rejoint directement le projet Mathématiques et Philosophie que je propose à mes élèves de 3e. Les Mathématiques cherchent à établir, calculer et démontrer ; la philosophie nous invite à interroger les termes que nous employons et les évidences qu’ils transportent. Ici, les deux démarches deviennent difficiles à séparer : comprendre ce que fait un élève suppose d’abord de savoir ce que nous mettons derrière les mots exercice, problème et recherche.
La question n’est donc peut-être pas de décider définitivement si un énoncé appartient à l’une ou l’autre catégorie. Elle serait plutôt :
À quelles conditions un exercice fait-il réellement problème pour celui qui cherche ?
Un problème pour qui, et à quel moment ?
Quittons un instant la philosophie pour emprunter une image à la littérature. Un texte est écrit par un auteur, mais il n’est pas lu de la même manière par tous. Chaque lecteur y entre avec sa culture, son histoire, ses attentes et les autres textes qu’il a déjà rencontrés. Les mots imprimés ne changent pas ; l’expérience de lecture, elle, peut être profondément différente.
Il en va peut-être de même pour un énoncé mathématique.
Le professeur en connaît la construction, la solution et, souvent, la méthode attendue. Il sait pourquoi telle donnée a été choisie et quelle notion doit être mobilisée. L’élève, lui, ne rencontre pas l’intention du professeur : il rencontre une tâche, avec les connaissances dont il dispose à cet instant.
Le même énoncé peut alors provoquer des activités très différentes. Pour un élève, la situation est familière et appelle immédiatement une procédure connue. Pour un autre, elle exige de faire un dessin, d’effectuer quelques essais ou de rapprocher des connaissances qui n’avaient encore jamais été utilisées ensemble. Pour un troisième, l’obstacle se situe en amont : certains mots, certaines données ou le but même de la question ne sont pas encore compris.
Dire qu’un énoncé « est un problème » ne suffit donc pas à décrire ce qui se passe. Il faut encore se demander pour qui il fait problème et à quel moment de l’apprentissage.
La temporalité joue ici un rôle essentiel. Une situation peut être proposée pour introduire une notion, reprise ensuite pour apprendre à utiliser une méthode, puis revenir quelques mois plus tard au milieu d’autres questions. Lors de la première rencontre, l’élève doit peut-être inventer une stratégie. Lors de la deuxième, il apprend à organiser une procédure. Lors de la troisième, il doit reconnaître seul qu’une connaissance ancienne peut être utile.
Le texte de l’énoncé est resté identique, mais le travail mathématique demandé ne l’est plus tout à fait. Entre-temps, certaines connaissances ont été découvertes, exercées puis validées. Ce qui constituait auparavant l’objet de l’apprentissage peut désormais devenir un outil au service d’une nouvelle recherche.
Cette évolution interdit cependant un raccourci. Une compétence validée n’est pas nécessairement disponible en toute circonstance. L’élève peut réussir à appliquer une méthode lorsque le chapitre, le titre ou les questions intermédiaires la désignent clairement, sans penser à la mobiliser dans une situation moins familière. Entre savoir faire et savoir reconnaître qu’il faut le faire, une nouvelle difficulté apparaît.
Un problème ne réside donc entièrement ni dans son énoncé, ni dans l’intention de celui qui l’a conçu, ni dans les connaissances de celui qui le reçoit. Il naît de leur rencontre.
Comme un texte change avec son lecteur, une tâche mathématique change avec celui qui cherche — et avec le chemin qu’il a déjà parcouru.
Une même situation, plusieurs travaux mathématiques
Prenons un énoncé très simple, proposé dans une de mes questions flash consacrées au PPCM :
Deux ampoules clignotent. L’une s’allume toutes les 5 min et 12 s et l’autre toutes les 32 s. À minuit, elles s’allument ensemble. Détermine l’heure à laquelle elles s’allumeront de nouveau ensemble.
Présentée sans indication particulière, cette situation peut inviter à chercher. Un élève peut dresser la liste des instants auxquels chaque ampoule s’allume, construire deux lignes du temps, procéder par additions successives ou tenter de repérer une régularité. Il ne connaît pas nécessairement le chemin le plus efficace, mais il peut entrer dans le problème avec les outils dont il dispose.
La situation change déjà si les conversions de durées ont été travaillées. Transformer 5 min et 12 s en 312 s n’est plus l’obstacle principal : cette connaissance devient une ressource. La recherche peut alors se concentrer sur la rencontre des deux rythmes.
Elle change encore lorsque l’élève sait décomposer un entier en produit de facteurs premiers. Il possède désormais un outil susceptible de raccourcir les essais, mais rien ne garantit qu’il pensera spontanément à l’utiliser. La difficulté n’est plus seulement de savoir décomposer 312 et 32 : elle consiste à reconnaître que cette décomposition peut aider à déterminer leur plus petit multiple commun.
Une fois la notion de PPCM abordée, l’activité est différente. Si l’énoncé apparaît sous le titre « Arithmétique — PPCM », le choix de la méthode est presque entièrement pris en charge par la page. L’élève doit convertir les durées, effectuer correctement les décompositions et calculer le résultat. Le travail reste utile et peut être exigeant, mais la part de recherche s’est réduite. La situation est devenue un exercice d’application, puis, avec le chronomètre, une question flash destinée à rendre la procédure plus rapidement mobilisable.
Cette évolution fait directement écho à la validation grimpante. Valider une compétence ne signifie pas que celle-ci est définitivement acquise ni qu’elle sera spontanément mobilisée dans toutes les situations. La validation indique plutôt qu’une étape a été suffisamment franchie pour que le travail puisse se déplacer.
Une connaissance qui constituait hier l’objectif principal peut alors devenir un outil dans une tâche plus complexe. Lorsque la conversion des durées est validée, elle cesse d’occuper le centre de l’exercice. Lorsque la décomposition en facteurs premiers devient suffisamment disponible, elle peut soutenir la recherche d’un multiple commun. Lorsque le calcul du PPCM est stabilisé, le professeur peut retirer le titre qui le désigne et demander à l’élève de reconnaître lui-même sa pertinence.
Ainsi, la progression de l’élève et l’évolution de la tâche avancent ensemble. À chaque marche franchie, une partie du guidage peut disparaître et laisser place à une nouvelle décision mathématique. La validation ne clôt donc pas le travail : elle permet d’en déplacer l’enjeu.
Plus tard, le même énoncé peut pourtant retrouver une part de son pouvoir problématique. Présenté sans titre, au milieu de situations relevant de notions différentes, il demande à l’élève non seulement de savoir calculer un PPCM, mais de reconnaître que cet outil est pertinent. Ce qui avait été appris puis exercé doit désormais être mobilisé sans être désigné.
Nous pouvons ainsi faire varier le travail sans modifier un seul nombre de l’énoncé. Il suffit de changer le moment où il est proposé, les connaissances supposées disponibles, son voisinage ou les indications qui l’accompagnent.
La succession n’est donc pas simplement :
problème, puis exercice.
Elle ressemble davantage à ceci :
recherche d’une première stratégie, apprentissage d’une méthode, entraînement, automatisation, puis mobilisation de cette méthode dans une situation qui ne la nomme plus.
Cette évolution rejoint la frontière montre qu’un exercice même énoncé ne possède pas une nature pédagogique définit indépendante de son usage. Son statut dépend aussi du contrat implicite qui l’accompagne : ce que le professeur vient d’enseigner, ce que le titre laisse deviner et ce que l’élève pense qu’on attend de lui.
Problème ouvert, situation-problème, exercice de recherche : des intentions différentes
La situation des deux ampoules montre qu’un même énoncé peut changer de fonction. Elle invite aussi à examiner plusieurs expressions couramment employées dans l’enseignement des Mathématiques. Elles sont parfois utilisées comme des synonymes, alors qu’elles ne mettent pas l’accent sur les mêmes aspects du travail.
Le problème ouvert, tel qu’il a notamment été développé par les équipes de l’IREM de Lyon, propose un énoncé généralement court, qui n’indique ni la méthode ni directement la solution. La situation doit rester suffisamment accessible pour que les élèves puissent commencer à chercher avec leurs connaissances. L’objectif principal n’est pas nécessairement de leur faire découvrir une nouvelle notion, mais de leur permettre de pratiquer une activité mathématique : essayer, conjecturer, argumenter, réfuter et comparer des démarches.
La situation-problème poursuit une autre intention. Elle est construite autour d’un obstacle que les connaissances disponibles ne permettent pas de franchir complètement. Le problème est alors choisi et organisé pour rendre nécessaire la construction d’un nouveau savoir. Celui-ci n’est plus seulement un outil possible pour résoudre la situation : il constitue l’un des enjeux de l’apprentissage.
L’exercice de recherche, enfin, insiste davantage sur la forme scolaire du travail proposé. L’expression n’a rien d’absurde dès lors que les deux mots ne décrivent pas la même dimension. Il s’agit bien d’un exercice au sens d’une activité organisée par le professeur, mais d’un exercice dans lequel l’élève est invité à chercher sans disposer immédiatement d’une procédure complète. Les narrations de recherche en fournissent un exemple particulièrement parlant : l’élève ne doit pas seulement livrer une réponse, mais raconter ses essais, ses changements de direction et les raisons qui l’ont conduit à retenir ou à abandonner une piste.
Ces distinctions sont utiles, mais elles ne forment pas un classement parfaitement étanche. Un problème ouvert peut être utilisé pour introduire une notion. Une situation-problème peut donner lieu à une narration de recherche. Un exercice initialement conçu pour appliquer une méthode peut susciter une recherche imprévue chez certains élèves.
Le vocabulaire renseigne donc surtout sur l’intention du professeur et sur le dispositif qu’il construit. Il ne permet pas, à lui seul, de prévoir l’activité réelle de chaque élève.
C’est peut-être là que se trouve le paradoxe le plus fécond. Le professeur peut préparer un exercice de recherche, choisir un problème ouvert ou construire une situation-problème. Mais il ne peut pas décréter exactement ce qui fera problème pour chacun. Il peut seulement créer les conditions dans lesquelles une véritable recherche devient possible.
Faire évoluer la tâche avec l’élève
Si une même situation peut être tour à tour un problème de recherche, un exercice d’application ou une question d’automatisation, le professeur n’a pas toujours besoin de changer d’énoncé pour faire évoluer le travail. Il peut agir sur ce que la didactique appelle des variables : les informations données, les outils autorisés, les aides proposées, le temps disponible ou encore la forme de la réponse attendue.
Dans l’exemple des deux ampoules, afficher le mot « PPCM » réduit fortement le choix de la stratégie. Le retirer oblige l’élève à reconnaître lui-même la structure du problème. Proposer des étapes intermédiaires sécurise l’entrée dans la tâche ; les supprimer rend davantage d’initiative. Demander uniquement l’heure attendue valorise le résultat ; demander plusieurs méthodes ou l’explication d’un essai déplace l’attention vers la recherche.
Ces variations ne dessinent pas une progression mécanique qui conduirait nécessairement du plus guidé au plus ouvert. Un guidage peut être indispensable lors d’une première rencontre, puis retiré lorsque certaines compétences deviennent disponibles. Il peut également être réintroduit ponctuellement lorsqu’un nouvel obstacle détourne l’élève de l’enjeu mathématique visé.
Faire évoluer la tâche ne consiste donc pas simplement à la rendre plus difficile. Il s’agit de choisir ce qui doit encore être pris en charge par l’énoncé et ce qui peut désormais être laissé à la décision de l’élève.
La validation prend alors une fonction pédagogique concrète. Elle ne sert pas seulement à constater un niveau atteint : elle aide à déterminer quelle indication peut disparaître, quelle connaissance peut devenir un outil et où placer la prochaine difficulté féconde.
Un problème n’est pas une propriété de l’énoncé
Nous cherchions à distinguer l’exercice du problème. Cette distinction existe, mais elle ne peut pas reposer uniquement sur la forme de la tâche.
Un exercice peut inviter à appliquer une procédure, à consolider une connaissance ou à conduire une véritable recherche. Un problème peut servir à découvrir une notion, à mobiliser plusieurs acquis ou simplement à éprouver une stratégie. Les mots décrivent tantôt l’intention du professeur, tantôt le dispositif proposé, tantôt l’activité intellectuelle de l’élève.
Un énoncé ne fait donc pas problème tout seul. Il fait problème pour quelqu’un, à un moment donné, dans un contexte particulier. Ce qui résiste aujourd’hui pourra devenir demain un exercice d’application, puis un automatisme. Plus tard, la même connaissance devra peut-être être reconnue et mobilisée dans une situation où rien ne la désigne.
C’est pourquoi la progression des apprentissages ne devrait pas seulement faire évoluer les élèves. Elle devrait aussi transformer le travail qui leur est proposé. Lorsqu’une compétence est suffisamment construite, le professeur peut retirer une indication, déplacer l’obstacle ou confier une décision supplémentaire.
La question n’est alors plus de savoir si une tâche appartient définitivement à la catégorie des exercices ou à celle des problèmes. Elle devient plus attentive et plus utile :
Qu’est-ce qui, dans cette situation et pour cet élève, mérite encore d’être cherché ?
Résoudre des problèmes en Mathématiques, ce n’est peut-être pas apprendre à reconnaître une collection d’énoncés particuliers. C’est parvenir progressivement à avancer lorsque le chemin n’est plus entièrement indiqué.
Pour prolonger la réflexion
Cette réflexion s’inscrit dans une histoire déjà riche de la résolution de problèmes et de la didactique des Mathématiques.
Le guide Éduscol La résolution de problèmes mathématiques au collège rappelle que les problèmes peuvent participer aussi bien à la construction des notions qu’à leur consolidation et à leur mobilisation dans des situations nouvelles.
Les travaux de Gilbert Arsac, Gilles Germain et Michel Mante sur la pratique du problème ouvert permettent de mieux comprendre ce qui caractérise une situation dans laquelle la méthode n’est pas indiquée et où l’élève peut réellement prendre l’initiative.
Roland Charnay, dans Apprendre par la résolution de problèmes, distingue plusieurs fonctions possibles du problème dans l’apprentissage. Cette approche invite précisément à ne pas classer les énoncés indépendamment de l’usage qui en est fait.
Enfin, les travaux de Guy Brousseau sur les situations didactiques éclairent le rôle du milieu, du contrat didactique et des choix effectués par le professeur dans l’activité mathématique effectivement laissée à l’élève.
Et dans vos classes ?
Avez-vous déjà rencontré un énoncé qui constituait un véritable problème pour certains élèves, mais un simple exercice pour d’autres — ou une tâche dont la nature a changé au fil des apprentissages ?
Vos exemples et vos observations peuvent prolonger cette réflexion : racontez-les dans les commentaires.