Août 1900, Paris. Le deuxième Congrès international des mathématiciens se tient pendant l’Exposition universelle. Hilbert y présente sa célèbre liste de problèmes pour le siècle qui s’ouvre. Poincaré, lui, choisit de parler de ses collègues : de la façon dont ils pensent, et de ce qui les sépare. Son discours, « Du rôle de l’intuition et de la logique en mathématiques », devient cinq ans plus tard le premier chapitre de La Valeur de la science.
On y retrouve le partage entre logiciens et intuitifs déjà rencontré dans la conférence sur les définitions. Mais cette fois, Poincaré pose une question plus dérangeante. Si l’intuition sert à inventer, peut-on lui faire confiance ? Et il répond par un exemple qui a tout pour choquer un professeur de maths : une courbe qui n’a de tangente nulle part.
Le Vauban et le cavalier
Le discours s’ouvre sur deux portraits. D’un côté les logiciens, qui avancent « avec la méthode d’un Vauban qui pousse ses travaux d’approche contre une place forte, sans rien abandonner au hasard ». De l’autre les intuitifs, qui « font du premier coup des conquêtes rapides, mais quelquefois précaires, ainsi que de hardis cavaliers d’avant-garde ».
Les exemples sont savoureux. Charles Méray consacre plusieurs pages à démontrer qu’on peut toujours partager un angle en parts égales, ce que tout le monde croit savoir d’instinct. Felix Klein, pour prouver un théorème très abstrait, imagine une plaque de métal parcourue par un courant électrique : « Il faudra bien, dit-il, que le courant passe ». Et Poincaré fait revivre deux professeurs que ses auditeurs ont connus. Joseph Bertrand dessinait les figures avec les mains en parlant. Charles Hermite, au contraire, avait des yeux qui « semblent fuir le contact du monde ; ce n’est pas au dehors, c’est au dedans qu’il cherche la vision de la vérité ».
Il ajoute une remarque qu’on ferait bien de méditer en conseil de classe. Ce n’est ni la matière ni l’éducation qui font un logicien ou un intuitif : « On naît mathématicien, on ne le devient pas, et il semble aussi qu’on naît géomètre, ou qu’on naît analyste. » On y reviendra dans l’encart.
« Toute courbe a une tangente »
Pourquoi les mathématiques sont-elles devenues si exigeantes au XIXe siècle ? Parce qu’on s’est aperçu que l’intuition peut se tromper, y compris sur ce qui paraît le plus sûr. Poincaré en donne un exemple frappant :
Nous savons qu’il existe des fonctions continues dépourvues de dérivées. Rien de plus choquant pour l’intuition que cette proposition qui nous est imposée par la logique. Nos pères n’auraient pas manqué de dire : « Il est évident que toute fonction continue a une dérivée, puisque toute courbe a une tangente. »
Henri Poincaré, La Valeur de la science, 1905
Autrement dit, il existe des courbes qu’on trace d’un seul trait, sans lever le crayon, mais qui n’ont en aucun point de tangente. Poincaré explique ensuite pourquoi notre intuition s’y laisse prendre, et c’est le passage le plus fin du chapitre. Nous ne savons pas imaginer une ligne sans épaisseur. Une droite, pour notre imagination, est « une bande rectiligne d’une certaine largeur ». Nous pouvons l’amincir autant que nous voulons, sans jamais atteindre la limite :
Et alors il est clair que nous pourrons toujours nous représenter ces deux rubans étroits, l’un rectiligne, l’autre curviligne, dans une position telle qu’ils empiètent légèrement l’un sur l’autre sans se traverser. Nous serons ainsi amenés, à moins d’être avertis par une analyse rigoureuse, à conclure qu’une courbe a toujours une tangente.
Deux rubans qui se touchent sans se croiser, voilà l’image de la tangente qu’on a tous en tête. L’image est juste pour un cercle ou une parabole. Mais elle ne prouve rien, car elle serait la même pour n’importe quelle courbe dessinée avec un crayon trop épais.
Zoomer sur une courbe sans tangente
Le premier exemple publié, celui de Karl Weierstrass en 1872, est une somme de cosinus de plus en plus serrés et de plus en plus petits :
f(x) = \cos(\pi x) + \tfrac{1}{2}\cos(13\pi x) + \tfrac{1}{4}\cos(169\pi x) + \dots = \sum_{n \geq 0} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} \cos(13^{n} \pi x)
Chaque terme est deux fois plus petit que le précédent, donc la somme ne s’emballe pas et la courbe est continue. Mais chaque terme oscille treize fois plus vite, et ces oscillations ne s’aplatissent jamais assez pour laisser apparaître une tangente. La figure montre ce qui se passe quand on zoome autour d’un point, en réajustant chaque fois l’échelle verticale. La parabole devient une droite, sa tangente. La courbe de Weierstrass reste aussi hérissée à chaque grossissement.
Le programme mesure la même chose avec des nombres. Il calcule la pente de cordes de plus en plus courtes autour de x = 0{,}3, sur les deux courbes, en calcul exact pour ne pas se laisser tromper par les arrondis :
from fractions import Fraction
from math import cos, pi
# La fonction de Weierstrass (1872) : une somme de cosinus de plus en plus serrés.
# f(x) = cos(πx) + ½ cos(13πx) + ¼ cos(169πx) + …
a, b, N = Fraction(1, 2), 13, 40 # après 40 termes, le reste est inférieur à 10⁻¹¹
def f(x):
"""x est une fraction : on réduit 13ⁿ·x modulo 2 en calcul exact avant le cosinus."""
return sum(float(a**n) * cos(pi * float((b**n * x) % 2)) for n in range(N))
def parabole(x):
return float(x * x)
x0 = Fraction(3, 10)
print(" corde de largeur h pente de la parabole pente de Weierstrass")
for k in range(1, 8):
h = Fraction(1, b**k)
p1 = (parabole(x0 + h) - parabole(x0)) / float(h)
p2 = (f(x0 + h) - f(x0)) / float(h)
print(f" h = 1/13^{k} {p1:12.6f} {p2:18.1f}")
Pour la parabole, les pentes valent 0,677, puis 0,606, 0,6005, et se stabilisent sur 0,6 : c’est le coefficient directeur de la tangente. Pour la courbe de Weierstrass, elles valent −9,6, puis 73, 195, −2 777, −16 919, 130 893, 348 937. Elles ne se stabilisent pas : elles grandissent sans fin, en changeant de signe au hasard. Il n’y a pas de tangente à trouver.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Les « monstres » sont devenus la règle. Hermite, le mathématicien que Poincaré peint les yeux tournés vers l’intérieur, écrivait en 1893 à son ami Stieltjes : « je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées ». Un siècle plus tard, ces fonctions sont partout. Le mouvement brownien, celui d’un grain de pollen bousculé par les molécules d’eau, trace une courbe continue sans tangente. Les côtes rocheuses, les cours de la Bourse et les fractals de Mandelbrot en offrent d’autres exemples. Les mathématiciens ont même démontré, en 1931, qu’au sens d’une certaine façon de compter, presque toutes les fonctions continues sont de ce type. Les courbes lisses de nos cours sont l’exception.
« On naît mathématicien » : la phrase n’a pas bien vieilli. Poincaré parle en homme de 1900, et la psychologie de l’apprentissage ne lui donne pas raison. Des différences de goût existent, entre ceux qui préfèrent le calcul et ceux qui préfèrent la figure, mais elles ne fixent pas ce qu’un élève peut apprendre. Poincaré lui-même, dans le même texte, insiste sur la place de l’intuition dans l’enseignement : sans elle, les jeunes esprits « ne sauraient s’initier à l’intelligence des Mathématiques ». On peut garder son portrait des deux familles d’esprits sans en faire une fatalité.
La logique, contrepoison
Faut-il pour autant abandonner l’intuition à cause de ces pièges ? Poincaré répond non, au contraire. La rigueur a un prix : les mathématiques y deviennent artificielles, elles oublient d’où elles viennent, et « on voit comment les questions peuvent se résoudre, on ne voit plus comment et pourquoi elles se posent ». L’intuition doit donc garder son rôle, « comme complément, j’allais dire comme contrepoids ou comme contrepoison de la logique ». Elle sert à voir où l’on va, la logique à vérifier qu’on y est bien arrivé.
Il distingue aussi plusieurs sortes d’intuition, et ce tri mérite d’être connu. L’appel aux sens et à l’imagination peut tromper : c’est le ruban et la tangente. La généralisation hâtive, qui étend à tous les cas ce qu’on a vu sur quelques-uns, peut tromper aussi. Reste « l’intuition du nombre pur », celle de la récurrence, la seule selon lui « qui ne puisse nous tromper ». C’était le sujet de l’épisode sur le raisonnement par récurrence.
Ce que ça change, concrètement
Définir la tangente sans rubans. En quatrième, la tangente au cercle est définie comme la perpendiculaire au rayon. C’est une définition précise, qui ne dépend pas de l’épaisseur du trait. Le dire aux élèves fait comprendre pourquoi on ne se contente pas de « la droite qui touche le cercle sans le couper ».
Montrer qu’un graphique ne suffit pas. Tracer une courbe sur un écran, c’est toujours la tracer avec des pixels, c’est-à-dire un ruban. Le zoom est une bonne façon de faire sentir ce qu’est une tangente : une courbe lisse finit par ressembler à une droite. Il se glisse facilement dans le cours sur la notion de fonction en troisième, et prépare la dérivée du lycée.
Reconnaître les deux familles dans la classe. Certains élèves résolvent un problème « par le calcul », d’autres « par la figure ». Poincaré dit que la science a besoin des deux. Proposer les deux voies pour un même exercice est une façon simple de ne perdre ni les uns ni les autres.
À vous
- êtes-vous Vauban ou cavalier ? Et vos élèves ?
- quelle évidence visuelle avez-vous vue tromper une classe entière ?
- et la question qui fâche : la rigueur qu’on exige au collège sert-elle à éviter des erreurs réelles, ou seulement à respecter une forme ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. Cet épisode ouvre La Valeur de la science, après ceux tirés de Science et méthode et de La Science et l’Hypothèse, dont une géométrie n’est pas plus vraie qu’une autre. Tous les épisodes : la série complète.
« L’intuition et la logique en mathématiques », discours au Congrès international des mathématiciens de Paris en août 1900, repris comme premier chapitre de La Valeur de la science (Flammarion, 1905). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations de Poincaré sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion ; celle d’Hermite vient de sa correspondance avec Stieltjes (lettre du 20 mai 1893). Pour le lire sur papier : La Valeur de la science en poche chez Champs sciences ; et, du même auteur, La Science et l’Hypothèse, présentée par Étienne Ghys.