Whitehead ouvre son chapitre sur la trigonométrie par une mise au point qui tombe bien, puisqu’elle écarte la réponse à laquelle on pense d’abord : « la trigonométrie n’est pas née de la considération générale de la périodicité de la nature ». Les fonctions qui reviennent, les ondes, les marées : tout cela viendra plus tard. À l’origine, il y a un problème d’arpenteur.
Les mesures directes de longueur ne sont que rarement possibles avec quelque exactitude : les rivières, les maisons, les forêts, les montagnes et les irrégularités générales du terrain se mettent toutes en travers. Le levé d’un pays entier ne dépendra que d’une ou deux mesures directes de longueur, faites avec le plus grand soin en des lieux choisis comme la plaine de Salisbury. L’essentiel du travail d’un levé est la mesure des angles.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Voilà la raison d’être de toute la discipline, et elle est d’une banalité magnifique : dans la nature, on peut viser mais on ne peut pas tendre un mètre. L’astronome est logé à la même enseigne — il ne mesure que deux choses, des temps et des angles. Alors on triangule : trois clochers visibles l’un de l’autre, on mesure les angles en chacun d’eux, et le pays se couvre de triangles. Whitehead note au passage la sagesse de l’arpenteur : théoriquement deux angles suffisent puisque la somme fait deux droits, « mais il vaut mieux en pratique mesurer les trois, et les petites erreurs d’observation peuvent alors être contrôlées ».
Pourquoi des triangles, et pas autre chose
Reste à comprendre pourquoi ça marche. Connaître les angles d’un triangle, c’est en connaître la forme, sinon la taille : c’est le grand principe de similitude, celui du plan à l’échelle, où « les angles sont les mêmes que dans la réalité ». Et Whitehead prend soin de montrer que cette propriété n’a rien d’universel, par un contre-exemple d’une simplicité qu’on devrait servir en classe :
Prenons les cas familiers du rectangle et du carré. Tous les angles correspondants sont égaux. Mais tandis que le côté AB du carré est égal au côté AB du rectangle, le côté BC du carré fait environ la moitié du côté BE du rectangle. Il n’est donc pas vrai que le carré soit semblable au rectangle. Cette propriété singulière du triangle, que ne partagent pas les autres figures rectilignes, en fait la figure fondamentale de la théorie de la similitude.
Un carré et un rectangle ont exactement les mêmes angles et ne se ressemblent pas. Le triangle, lui, est entièrement déterminé par ses angles — à l’échelle près. C’est pour ça qu’on arpente en triangles et pas en quadrilatères, c’est pour ça que le mot existe (trigonon, triangle, et metria, mesure), et c’est la réponse à une question que les élèves posent rarement mais qui les travaille : pourquoi toujours des triangles ?
D’où la question fondatrice, qu’il énonce sans détour : « étant données les grandeurs des angles d’un triangle, que peut-on affirmer des grandeurs relatives des côtés ? » Relatives, insiste-t-il, puisque la similitude ne donne jamais que des proportions. Le sinus et le cosinus ne sont pas des longueurs : ce sont les réponses à cette question-là.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Il a un reproche à faire aux manuels, et il est toujours d’actualité. « Dans les livres élémentaires modernes, la position fondamentale de l’arc de cercle dans la définition de la grandeur d’un angle a été quelque peu reléguée à l’arrière-plan, ni à l’avantage de la théorie, ni à celui de la clarté de l’explication. » Son argument : le rapport de l’arc au rayon ne dépend ni du rayon choisi, ni d’une unité de longueur, ni du découpage arbitraire d’un angle droit en quatre-vingt-dix parts. « C’est la façon théoriquement correcte de mesurer la grandeur d’un angle. » Le degré, lui, est une convention babylonienne qu’on n’interroge jamais — et l’élève de troisième qui tape un cosinus sur sa calculatrice ignore le plus souvent qu’il existe une autre unité, et pourquoi elle existe. Une phrase suffit à l’en informer.
Et une opposition d’histoire des sciences qui vaut de l’or en classe. Whitehead met en regard deux inventions grecques : les coniques, nées « de l’intérêt abstrait des idées en jeu », sans le moindre usage en vue, et la trigonométrie, née d’un besoin d’astronome — Hipparque, né vers 160 avant notre ère, qui observait à Rhodes. Les coniques précèdent la trigonométrie de cent cinquante ans, « pendant la toute meilleure période de la pensée grecque ». Deux origines opposées, deux réussites : la théorie pure a donné les trajectoires des planètes dix-huit siècles plus tard, chez Kepler, la pratique a donné une science entière. « L’importance de la trigonométrie n’est qu’un cas parmi d’innombrables autres des idées fécondes que la science générale a gagnées à ses applications pratiques. » On peut arrêter de choisir son camp.
Ce que ça change, concrètement
Commencer par le problème, pas par la définition. La leçon de troisième arrive d’ordinaire par les trois rapports, qu’il faut retenir avant d’avoir vu ce qu’ils font. L’ordre de Whitehead est l’inverse : on veut la hauteur d’un clocher qu’on ne peut pas escalader, on ne sait mesurer que des angles, et il se trouve qu’un triangle est déterminé par ses angles. Le sinus arrive alors comme une réponse, pas comme une formule à apprendre.
Faire le contre-exemple du rectangle. Deux minutes au tableau : un carré, un rectangle, mêmes angles, formes différentes. Puis la même chose avec deux triangles — impossible. Les questions flash sur les angles et les exercices de trigonométrie prennent un tout autre relief quand la classe a constaté de ses yeux que le triangle est la seule figure dont les angles commandent la forme.
À vous
- avez-vous déjà fait mesurer une hauteur inaccessible pour de vrai, dehors ? C’est le problème d’origine, et il tient en une heure.
- dites-vous à vos élèves pourquoi ce sont toujours des triangles ? Le contre-exemple du rectangle règle la question en deux minutes.
- et le reproche de Whitehead sur l’arc et le rayon : évoquez-vous le radian au collège, ne serait-ce qu’une phrase, ou est-ce hors sujet ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont son humeur est fonction de sa digestion et une aire n’est pas une longueur. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XIII, « Trigonometry », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).