C’est la première phrase du livre, et je ne connais pas de meilleure entrée en matière pour un professeur de mathématiques.
L’étude des mathématiques commence volontiers dans la déception. Les applications importantes de cette science, l’intérêt théorique de ses idées et la rigueur logique de ses méthodes font toutes espérer une introduction rapide à des processus intéressants. On nous dit que grâce à elle on pèse les étoiles et l’on compte les milliards de molécules d’une goutte d’eau. Et pourtant, comme le fantôme du père d’Hamlet, cette grande science échappe aux efforts de nos armes mentales pour la saisir — « elle est ici, elle est là, elle n’est plus ».
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Et le fantôme, lui, avait au moins une excuse : il était « trop noble pour nos méthodes grossières ». Ce n’est pas, note Whitehead, ce qu’on peut dire « des résultats triviaux qui occupent les pages de certains traités élémentaires ».
Le diagnostic
Il ne s’arrête pas au constat. La cause de cet écart entre la réputation de la discipline et ce qu’en voit l’élève, il la nomme en une phrase, et c’est celle que je relirais avant chaque rentrée.
La raison en est que ses idées fondamentales ne sont pas expliquées à l’élève démêlées de la procédure technique inventée pour en faciliter la présentation exacte dans des cas particuliers. Aussi le malheureux apprenant se débat-il pour acquérir une masse de détails qu’aucune conception générale n’éclaire.
On attend la charge contre la technique. Elle ne vient pas — et c’est ce qui rend le passage utilisable. « Sans aucun doute, l’aisance technique est la première condition d’une activité mentale féconde : nous ne saurons apprécier le rythme de Milton ni la passion de Shelley tant que nous aurons besoin d’épeler les mots et resterons peu sûrs de la forme des lettres. En ce sens, il n’y a pas de voie royale vers le savoir. » Puis l’autre versant, d’une seule ligne : « mais c’est une erreur tout aussi grande que de borner l’attention aux procédés techniques en excluant la considération des idées générales. Là est le chemin de la pédanterie. »
Deux fautes symétriques, donc, et pas de camp à choisir. Ce qu’il annonce ensuite est le programme de tout le livre — et, accessoirement, de cette série : « l’objet des chapitres suivants n’est pas d’enseigner les mathématiques, mais de permettre aux élèves, dès le tout début de leur parcours, de savoir de quoi parle cette science ».
Ce qu’on lit aujourd’hui
Sa définition de l’abstraction tient en une liste, et elle est imbattable. « Le premier fait remarquable à propos de l’arithmétique est qu’elle s’applique à tout : aux goûts et aux sons, aux pommes et aux anges, aux idées de l’esprit et aux os du corps. La nature des choses est parfaitement indifférente : de toutes choses il est vrai que deux et deux font quatre. » D’où sa formule : les mathématiques traitent de propriétés applicables aux choses pour la seule raison que ce sont des choses. Voilà ce que veut dire « science abstraite » — non pas « détachée du réel », mais « qui ne demande pas de quoi c’est fait ». La nuance est exactement celle que nos élèves n’entendent jamais, et elle tient en une phrase au tableau.
Et un règlement de comptes littéraire de 1911. Whitehead rappelle que Swift, dans le voyage de Gulliver à Laputa, se moque des mathématiciens — rêveurs inutiles qu’il faut réveiller à coups de claquoir, et ce tailleur qui mesure Gulliver au quadrant pour lui livrer un costume qui ne tombe pas. Puis il assène : « Swift vivait à une époque particulièrement mal choisie pour railler les mathématiciens de son temps. Les Principia de Newton venaient d’être écrits, l’une des grandes forces qui ont transformé le monde moderne. Swift aurait tout aussi bien pu se moquer d’un tremblement de terre. » On peut ne pas cautionner la dureté et savourer la phrase.
La pomme du dîner
Reste la question qui fâche : si cette science laisse de côté tout ce qui est intéressant, pourquoi serait-elle importante ? La réponse de Whitehead passe par une scène de table.
Nos sensations sont à nous seuls — « ma rage de dents ne peut pas être votre rage de dents », et d’ailleurs « le dentiste n’extrait pas la rage de dents, il extrait la dent ». Mais nous rapportons tous ces sensations à un même monde extérieur. « Il n’y a pas un monde de choses pour mes sensations et un autre pour les vôtres, mais un seul monde où nous existons tous deux. C’est la même dent pour le dentiste et pour le patient. » Alors, à table : « qu’est-ce qui était au fond de ma sensation de vue, de la vôtre de toucher, de la sienne de goût et d’odeur ? — Une pomme. » Et la science, poussant plus loin, décrira cette pomme par des positions et des mouvements de molécules, « description qui ignore moi, et vous, et lui, et qui ignore aussi la vue, le toucher, le goût et l’odorat ».
Voilà pourquoi l’abstraction n’est pas un appauvrissement mais une condition : c’est le seul moyen de parler d’un monde commun. Les lois qu’on cherche doivent valoir « de façon neutre et universelle, les mêmes pour les aveugles que pour les sourds ». Et au passage, la plus belle définition de la pensée scientifique que j’aie rencontrée : « voir ce qu’il y a de général dans le particulier et ce qu’il y a de permanent dans le passager, tel est le but de la pensée scientifique ».
Ce que ça change, concrètement
Répondre à « à quoi ça sert » par « à quoi ça s’applique ». La liste de Whitehead — les goûts et les sons, les pommes et les anges, les idées de l’esprit et les os du corps — se dit en dix secondes et vaut mieux qu’un exemple d’application. C’est d’ailleurs le principe des parcours transversaux du site : les mêmes outils qui servent à mesurer un champ servent à lire un sondage ou un budget, non par miracle, mais parce qu’ils ne demandent jamais de quoi la chose est faite.
Et ne pas laisser la technique sans sa conception générale. C’est la phrase du diagnostic, et elle est plus exigeante qu’elle n’en a l’air : il ne s’agit pas d’ajouter une anecdote en fin de chapitre, mais de dire l’idée avant la procédure. Les séquences de math-philo de ce site sont l’endroit où cette dette se paie en une fois ; mais la vraie application, c’est la première minute d’un chapitre ordinaire, quand on choisit de dire de quoi on va parler plutôt que ce qu’on va faire.
À vous
- vos élèves sauraient-ils dire de quoi parle votre discipline ? Pas à quoi elle sert : de quoi elle parle.
- « la masse de détails qu’aucune conception générale n’éclaire » : c’est de nos chapitres qu’il parle, ou des manuels de 1911 ?
- et la déception initiale : l’avez-vous éprouvée ? Moi oui, et plus tard que je ne l’aurais cru.
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont la figure ne prouve rien et le temps se mesure en recommencements. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre premier, « The Abstract Nature of Mathematics », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library) — c’est le chapitre le plus court du livre, et celui par lequel il ouvre. Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).