« La figure ne prouve rien. » Tout professeur de mathématiques a prononcé cette phrase, et tout professeur de mathématiques passe ensuite l’heure à faire tracer des figures. La contradiction est apparente, mais elle est inconfortable, et je n’avais jamais lu personne la dissoudre aussi proprement que Whitehead dans son chapitre sur la géométrie.
L’intuition spatiale, qui est une aide si essentielle à l’étude de la géométrie, est logiquement hors sujet : elle n’entre ni dans les prémisses, lorsqu’elles sont correctement énoncées, ni dans aucune étape du raisonnement. Elle a l’importance pratique d’un exemple, lequel est indispensable pour stimuler notre pensée.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Logiquement hors sujet, pratiquement indispensable. Les deux moitiés de la phrase sont vraies en même temps, et c’est pour ça que la consigne « la figure ne prouve rien » sonne toujours faux aux oreilles des élèves : elle n’en dit qu’une. Whitehead ajoute ce qui fait la particularité de notre discipline : « la singularité de la géométrie tient à la fixité et à l’importance écrasante de l’unique exemple particulier qui se présente à notre esprit. […] Mais, pour toute son importance écrasante, ce n’est qu’un exemple. » En arithmétique aussi on voit des bâtons alignés quand on pense à « trois » — sauf qu’en géométrie, l’image est toujours la même et elle occupe tout le terrain.
Une figure, pas une liste de théorèmes
Le chapitre commence par rappeler que la géométrie, comme l’algèbre, « est dominée par les idées de quelconque et de certain » : une proposition ne parle pas de la figure imprimée dans le livre, elle parle de toute figure ayant telles propriétés. Puis il donne sa méthode, et elle tient en deux phrases.
La véritable méthode pour étudier la géométrie est de penser à des figures simples et intéressantes — le triangle, le parallélogramme, le cercle — et d’explorer les corrélations entre leurs différentes parties. Le géomètre n’a pas à l’esprit une proposition détachée, mais une figure dont les diverses parties sont mutuellement interdépendantes.
Relisez la liste des propriétés du triangle telle qu’il l’aligne, et vous reconnaîtrez le programme du cycle 4, mais dans un ordre qui n’est pas celui du manuel : le plus grand angle est opposé au plus grand côté ; les angles de la base d’un triangle isocèle sont égaux ; la somme des angles vaut deux droits ; la somme de deux côtés dépasse le troisième. Ce ne sont pas quatre chapitres, ce sont quatre réponses à la même question — comment les parties de cette figure dépendent-elles les unes des autres ?
Ce qu’on lit aujourd’hui
Il fait naître la similitude d’une question, et non d’un chapitre. Whitehead pose d’abord le problème classique : à quelles conditions deux triangles sont-ils égaux en tout ? Il donne les trois réponses attendues — deux côtés et l’angle entre eux, deux angles et le côté qui les joint, les trois côtés. Puis vient la phrase qui vaut une progression : « cette réponse suggère aussitôt une nouvelle enquête. Quelle est la nature de la corrélation entre les triangles lorsque les trois angles de l’un sont respectivement égaux aux trois angles de l’autre ? » Et c’est ainsi qu’on arrive « à toute la théorie de la similitude ». Nos élèves rencontrent les triangles égaux, puis, un an plus tard, les triangles semblables, comme deux objets sans lien. Chez Whitehead, le second est la question laissée ouverte par le premier — et une question laissée ouverte, ça se retient.
Et une pique qu’on peut resservir. La géométrie analytique, dit-il, est souvent mal nommée « géométrie analytique des coniques », ce qui revient à braquer l’attention sur une seule de ses subdivisions : « c’est comme si l’on appelait la grande science de l’anthropologie l’étude des nez, au motif que le nez est une partie saillante du corps humain ». Chacun complétera avec le chapitre de son programme qui a fini par donner son nom à tout le reste.
Les anges reviennent
La fin du chapitre est plus spéculative, et elle reprend une image du tout premier chapitre — celle des choses auxquelles l’arithmétique s’applique, « les pommes et les anges ». Whitehead s’en sert cette fois pour séparer le nombre de l’espace : « les archanges peuvent être comptés pour la seule raison que ce sont des choses. Une fois qu’on sait qu’ils se nomment Raphaël, Gabriel et Michel, et que ces noms distincts représentent des êtres distincts, on sait sans plus de question qu’ils sont trois. […] Mais nous restons tout à fait dans l’ignorance quant à leur rapport à l’espace. Y sont-ils seulement ? »
D’où sa conclusion, qui est la raison pour laquelle la géométrie a un statut à part : « tandis que les nombres doivent s’appliquer à toutes choses, l’espace n’y est pas tenu ». Compter est plus général que situer. C’est une idée qu’on peut poser en une phrase devant une classe de troisième et qui occupera, chez certains, le trajet du retour.
Ce que ça change, concrètement
Dire les deux moitiés de la phrase. « La figure ne prouve rien » est vrai et décourageant ; « la figure ne prouve rien, et sans elle on ne trouve rien » est vrai et utilisable. C’est exactement le contrat des programmes de construction, où l’on trace, on mesure, on vérifie — et où la question de contrôle sert à constater, jamais à démontrer. L’élève a le droit de savoir que les deux gestes sont différents et tous les deux nécessaires.
Enchaîner l’égalité et la similitude. Poser la question de Whitehead — et si seuls les angles sont égaux ? — au moment même où l’on vient d’établir les cas d’égalité, ça ne coûte rien et ça installe un an à l’avance ce qui arrivera avec les configurations de Thalès. Les propriétés angulaires du triangle y gagnent aussi : elles cessent d’être une liste et deviennent l’inventaire des dépendances d’une seule figure.
À vous
- comment dites-vous à vos élèves qu’une figure est indispensable et sans valeur probante ? La formule de Whitehead — l’importance pratique d’un exemple — est la meilleure que j’aie trouvée.
- vos chapitres de géométrie sont-ils des listes de théorèmes ou l’étude d’une figure ? La différence se voit dans l’ordre du cahier.
- et quel est, dans votre programme, le chapitre « étude des nez » — celui dont le nom a fini par recouvrir une matière bien plus vaste ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont le temps se mesure en recommencements et le sinus était un segment. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XVI, « Geometry », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).