Les causeries de Poincaré : A = B, B = C, et pourtant A < C

D’où vient l’idée qu’une ligne est faite d’une infinité de points, qu’entre deux nombres on peut toujours en glisser un autre ? Des mathématiques, répond-on d’abord. Poincaré, dans le deuxième chapitre de La Science et l’Hypothèse, cherche plus loin. Pour lui, le continu mathématique a été inventé pour résoudre une contradiction que nos sens nous imposent. Et cette contradiction tient en trois lignes qu’on peut vérifier avec une balance de cuisine.

A = B, B = C, et pourtant A < C

Le psychologue Fechner avait cherché à mesurer les sensations. Poincaré retient de ses expériences un résultat qu’il juge plus important que la loi qu’on en tirait :

On a observé, par exemple, qu’un poids A de 10 grammes et un poids B de 11 grammes produisaient des sensations identiques, que le poids B ne pouvait non plus être discerné d’un poids C de 12 grammes, mais que l’on distinguait facilement le poids A du poids C. Les résultats bruts de l’expérience peuvent donc s’exprimer par les relations suivantes : A = B, B = C, A < C, qui peuvent être regardées comme la formule du continu physique.

Henri Poincaré, La Science et l’Hypothèse, 1902

C’est, dit-il, « un désaccord intolérable » avec le principe de contradiction. Deux choses égales à une même troisième doivent être égales entre elles. Pour sauver ce principe, nous supposons que A est en réalité différent de B, et B de C, mais que nos sens sont trop grossiers pour le voir. Et puisqu’un instrument plus précis fera apparaître entre A et B un nouveau terme D, indiscernable des deux, il faudra en intercaler sans fin. Le continu mathématique est né de là : « cette notion a été créée de toutes pièces par l’esprit, mais que c’est l’expérience qui lui en a fourni l’occasion ».

Le cercle et la diagonale qui ne se coupent pas

Intercaler des fractions entre les entiers, puis des fractions entre les fractions, ne suffit pas encore. Poincaré le montre par une figure de collège :

Il est clair, en effet, que si les points dont les coordonnées sont commensurables étaient seuls regardés comme réels, le cercle inscrit dans un carré et la diagonale de ce carré ne se couperaient pas, puisque les coordonnées du point d’intersection sont incommensurables.

Dans un carré de côté 2 centré à l’origine, le cercle inscrit a pour rayon 1 et la diagonale est la droite y = x. Ils se rencontrent en un point dont l’abscisse vérifie 2x^2 = 1, soit x = \frac{\sqrt{2}}{2}. Si seules existaient les fractions, ce point n’existerait pas, et deux lignes qui se traversent sous nos yeux n’auraient aucun point commun. Il faut donc les nombres « incommensurables », ceux que nous appelons irrationnels.

Définir √2 sans le connaître

Comment définir un nombre comme \sqrt{2} en n’utilisant que des fractions ? Poincaré expose la méthode de Richard Dedekind. On partage toutes les fractions en deux classes : celles dont le carré dépasse 2 et celles dont le carré est inférieur à 2. Aucune fraction n’a un carré exactement égal à 2, donc aucune ne sert de frontière. La première classe n’a pas de plus petit élément, la seconde n’a pas de plus grand. Le nombre \sqrt{2}, dit Dedekind, n’est rien d’autre que ce partage : le symbole de la coupure. Poincaré commente : « Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets ».

Le programme met les deux idées à l’épreuve. Il simule d’abord une main qui ne distingue pas deux poids séparés de moins de 1,5 gramme. Il construit ensuite les meilleures fractions qui approchent \sqrt{2} et vérifie de quel côté de la coupure elles tombent :

from fractions import Fraction

# 1. Le continu physique : A = B, B = C, et pourtant A < C.
#    Notre main ne distingue deux poids que s'ils diffèrent d'au moins 1,5 gramme.
SEUIL = 1.5
def semblent_egaux(x, y):
    return abs(x - y) < SEUIL

A, B, C = 10, 11, 12
print("A = B :", semblent_egaux(A, B), "  B = C :", semblent_egaux(B, C), "  A = C :", semblent_egaux(A, C))

# Une chaîne de poids de 10 g à 20 g, chacun indiscernable du suivant.
chaine = [10 + k for k in range(11)]
print("maillons voisins tous « égaux » :", all(semblent_egaux(x, y) for x, y in zip(chaine, chaine[1:])),
      "  mais 10 g et 20 g :", semblent_egaux(chaine[0], chaine[-1]))

# 2. La coupure de Dedekind pour √2 : aucune fraction n'a un carré égal à 2.
#    Les meilleures fractions p/q s'en approchent en alternant au-dessus et au-dessous.
p, q = 1, 1
for _ in range(10):
    f = Fraction(p, q)
    cote = "au-dessus de 2" if f * f > 2 else "au-dessous de 2"
    print(f"{str(f):>12}   carré = {float(f*f):.12f}   {cote}   p² − 2q² = {p*p - 2*q*q}")
    p, q = p + 2 * q, p + q            # la fraction suivante, bien meilleure

# 3. Aucune fraction p/q, avec q jusqu'à 2000, n'a un carré égal à 2 (vérification brute).
print("carré exactement 2 :", [(p, q) for q in range(1, 2001) for p in range(q, 2 * q) if p * p == 2 * q * q])

La main simulée donne exactement la formule de Poincaré : 10 g « égale » 11 g, 11 g « égale » 12 g, mais 10 g ne semble pas égal à 12 g. Sur une chaîne de onze poids, de 10 à 20 grammes, chaque maillon semble égal à son voisin, alors que les deux bouts se distinguent sans peine. L’égalité perçue ne se transmet pas de proche en proche.

Les fractions 1, \tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{5}, \tfrac{17}{12}, \tfrac{41}{29}… tombent tour à tour au-dessous et au-dessus de 2. À la dixième, \tfrac{3363}{2378}, le carré vaut 2,000 000 18, mais jamais exactement 2. La raison se lit dans la dernière colonne : pour chacune, p^2 - 2q^2 vaut +1 ou -1, jamais 0. Et une recherche systématique ne trouve aucune fraction de dénominateur inférieur à 2 000 dont le carré soit 2. La démonstration, qu’on peut faire en troisième, dit pourquoi on n’en trouvera jamais. Si p^2 = 2q^2, alors p^2 est pair, donc p aussi. En écrivant p = 2p', on obtient q^2 = 2p'^2, donc q est pair aussi. La fraction se simplifie alors par 2, indéfiniment, ce qui est impossible.

Ce que ça change, concrètement

Faire soupeser. Trois sachets de 100, 105 et 110 grammes, passés de main en main, reproduisent l’expérience de Fechner en cinq minutes. La classe découvre qu’« égal » ne veut pas dire la même chose pour nos sens et pour les mathématiques. Et elle comprend pourquoi une mesure s’accompagne toujours d’une précision.

Donner une raison d’être à √2. Le cours sur les racines carrées en troisième peut commencer par la question de Poincaré : où le cercle inscrit coupe-t-il la diagonale ? Le calcul mène à \sqrt{2}, et la question « est-ce une fraction ? » devient naturelle. Le théorème de Pythagore y conduit aussi : la diagonale d’un carré de côté 1 mesure \sqrt{2}.

Montrer que la calculatrice ment un peu. Elle affiche 1,414213562 pour \sqrt{2}, et 1{,}414213562^2 ne fait pas 2. Les fractions du programme montrent qu’on peut s’approcher autant qu’on veut sans jamais arriver. C’est une bonne occasion de travailler les carrés et racines carrées en calcul mental.

À vous

• comment faites-vous admettre à vos élèves que \sqrt{2} n’est pas une fraction ? Le démontrez-vous ?
• avez-vous déjà fait l’expérience des poids indiscernables en classe ?
• et la question qui fâche : un nombre qu’on ne peut jamais écrire en entier existe-t-il vraiment ?

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Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. Ce chapitre suit celui sur le raisonnement par récurrence et précède celui sur les géométries non euclidiennes. L’image des deux rubans qui se touchent revient dans l’épisode sur la courbe sans tangente. Tous les épisodes : la série complète.

« La grandeur mathématique et l’expérience », chapitre II de La Science et l’Hypothèse (Flammarion, 1902). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier, La Science et l’Hypothèse existe en poche chez Champs, présentée par Étienne Ghys.