Après nous avoir entraînés sur une route de montagne aux distances cachées, Lewis Carroll nous propose une expérience beaucoup plus modeste : un sac, deux jetons et un tirage.
Le calcul semble devoir tenir en quelques secondes. Pourtant, la couleur d’un jeton que l’on vient de retirer modifie ce que nous pouvons raisonnablement penser de celui qui reste. Ce deuxième problème ne porte donc pas seulement sur le hasard : il interroge la manière dont une information nouvelle transforme une probabilité.
Un problème pour les nuits sans sommeil
Lewis Carroll ne publie pas ce problème dans A Tangled Tale, mais dans un autre recueil mathématique : Pillow-Problems Thought Out During Wakeful Hours, littéralement des « problèmes d’oreiller imaginés pendant des heures d’éveil ».
L’ouvrage paraît sous son véritable nom, Charles L. Dodgson. Il rassemble 72 problèmes d’arithmétique, d’algèbre, de géométrie et de probabilités conçus au fil des années. Carroll indique lui-même la date associée à chacun d’eux.
Celui qui nous intéresse porte le numéro 5. Il est daté du 8 septembre 1887, puis publié dans le recueil en 1893. Nous pouvons aujourd’hui le retrouver dans l’édition ancienne numérisée par Project Gutenberg.
Un sac, deux jetons et une information
Voici l’énoncé original de Lewis Carroll :
“A bag contains one counter, known to be either white or black. A white counter is put in, the bag shaken, and a counter drawn out, which proves to be white. What is now the chance of drawing a white counter?”
Nous pouvons le traduire ainsi :
Un sac contient un jeton dont on sait qu’il est soit blanc, soit noir. On ajoute un jeton blanc, on mélange le contenu du sac, puis on tire un jeton. Le jeton tiré est blanc. Quelle est maintenant la probabilité de tirer un jeton blanc ?
Après le premier tirage, il ne reste qu’un seul jeton dans le sac. La question peut donc être reformulée plus directement :
Quelle est la probabilité que le jeton resté dans le sac soit blanc ?
La réponse paraît immédiate. Le jeton restant est blanc ou noir : pourquoi ne pas répondre une chance sur deux ? Mais les deux couleurs possibles ne sont pas nécessairement devenues équiprobables.
Et vous, le jeton blanc que l’on vient de voir nous apprend-il quelque chose sur celui qui reste caché ?