« Il s’est écoulé autant de temps de midi à une heure que de deux heures à trois heures. » La phrase paraît si évidente qu’on ne voit pas ce qu’on pourrait en dire. Poincaré, lui, demande ce qu’elle veut dire, et répond : rien, tant qu’on n’a pas choisi une façon de mesurer. L’article paraît en 1898 dans la Revue de métaphysique et de morale, sous le titre « La mesure du temps ». Il devient le deuxième chapitre de La Valeur de la science, et il annonce, sept ans avant Einstein, que la simultanéité de deux événements éloignés est une affaire de convention.
Nous ne sentons pas les durées égales
Pour notre conscience, l’ordre des événements est clair : nous savons ce qui s’est passé avant et ce qui s’est passé après. Mais comparer deux durées, c’est autre chose :
Nous n’avons pas l’intuition directe de l’égalité de deux intervalles de temps. Les personnes qui croient posséder cette intuition sont dupes d’une illusion. Quand je dis, de midi à une heure, il s’est écoulé le même temps que de deux heures à trois heures, quel sens a cette affirmation ? La moindre réflexion montre qu’elle n’en a aucun par elle-même.
Henri Poincaré, La Valeur de la science, 1905
Il faut donc une définition, et Poincaré suit celles des physiciens et des astronomes. D’abord le pendule : on décide que tous ses battements ont la même durée. Mais la température, la pression de l’air ou le magnétisme dérèglent sa marche, et les meilleures horloges doivent être corrigées. On les corrige sur les étoiles, c’est-à-dire qu’on décide que deux tours complets de la Terre sur elle-même ont la même durée. C’est une nouvelle définition, qui remplace la première.
La Terre, une horloge qui retarde
Et même cette définition ne tient pas. Poincaré signale que beaucoup d’astronomes pensent que les marées freinent la rotation de la Terre. On l’expliquerait ainsi : la Lune semble avancer plus vite que la théorie ne le permet, « parce que notre horloge, qui est la terre, retarderait ». Mais que signifie « la Terre ralentit », si c’est la Terre qui sert à mesurer le temps ? Poincaré en conclut que les astronomes ont adopté, sans le dire, une troisième définition : « Le temps doit être défini de telle façon que les équations de la mécanique soient aussi simples que possible. »
Le ralentissement est aujourd’hui mesuré. Le jour s’allonge d’environ 1,75 milliseconde par siècle, ce qui paraît négligeable. Mais le retard s’accumule jour après jour, comme une dette dont les intérêts augmentent. Le programme calcule ce que la Terre a perdu, comparée à une horloge parfaitement régulière :
# La Terre est une horloge qui retarde : chaque siècle, le jour s'allonge d'environ 1,75 milliseconde.
allongement = 1.75e-3 # secondes gagnées par le jour en un siècle
jours_par_siecle = 36525
# Au bout de T siècles, le jour a pris allongement × T secondes.
# Le retard s'additionne jour après jour : c'est l'aire d'un triangle, ½ × base × hauteur.
def retard(T):
return 0.5 * (allongement * abs(T)) * (jours_par_siecle * abs(T))
print(f"coefficient : {retard(1):.1f} s × T²")
for annee in (1900, 1500, 1000, 1, -135): # -135 = 136 av. J.-C.
T = (annee - 1820) / 100 # en siècles, depuis 1820
r = retard(T)
decalage = r / 86400 * 360 # la Terre tourne de 360° en un jour
print(f"{annee:6} : l'horloge Terre a pris {r:7.0f} s ({r/3600:4.1f} h) de retard,"
f" soit une éclipse déplacée de {decalage:4.1f}° de longitude")
Au bout de T siècles, le jour a pris 1{,}75 \times T millisecondes. Le retard total est la somme de ces petits retards, qui grandissent régulièrement : c’est l’aire d’un triangle, et elle vaut environ 32\,T^2 secondes. Le carré change tout. En 1900, le retard ne fait que 20 secondes. Au début de notre ère, il atteint près de trois heures. En 136 av. J.-C., il dépasse trois heures et demie dans ce modèle simplifié.
Or c’est justement l’année d’une éclipse de Soleil notée par les astronomes de Babylone sur des tablettes d’argile. Calculée avec une Terre parfaitement régulière, cette éclipse tombe au mauvais endroit. Trois heures et demie de rotation, c’est 51° de longitude : l’ombre de la Lune passerait à des milliers de kilomètres de Babylone. C’est en confrontant ces éclipses antiques aux calculs que les astronomes ont mesuré le freinage de la Terre. La Lune n’accélère pas : c’est notre horloge qui retarde, comme le supposait Poincaré.
Deux horloges, aucune n’a raison
Poincaré tire la conclusion, et l’on reconnaît la formule du chapitre sur les géométries : « il n’y a pas une manière de mesurer le temps qui soit plus vraie qu’une autre ; celle qui est généralement adoptée est seulement plus commode. De deux horloges, nous n’avons pas le droit de dire que l’une marche bien et que l’autre marche mal ; nous pouvons dire seulement qu’on a avantage à s’en rapporter aux indications de la première. »
L’étoile de Tycho et la simultanéité
La seconde moitié du chapitre pose une question plus troublante, et Poincaré remarque qu’elle « a jusqu’ici beaucoup moins attiré l’attention ». Que veut dire « en même temps » pour deux événements très éloignés ? Il prend l’exemple de l’étoile nouvelle que Tycho Brahé vit apparaître en 1572. La lumière a mis longtemps à nous parvenir, au moins deux cents ans selon lui. L’explosion est donc antérieure à la découverte de l’Amérique. Mais quand on dit que l’explosion a précédé le moment où Christophe Colomb a aperçu Hispaniola, qu’affirme-t-on au juste ?
Il suffit d’un peu de réflexion pour comprendre que toutes ces affirmations n’ont par elles-mêmes aucun sens. Elles ne peuvent en avoir un que par suite d’une convention.
Il cherche alors quelles règles on applique sans y penser. La première est la cause : ce qui cause un événement est antérieur. Mais on reconnaît souvent la cause justement parce qu’elle vient avant, et l’on tourne en rond. Le tonnerre montre les limites de la règle. On entend le bruit après l’éclair, mais « de deux coups de foudre, l’un lointain, l’autre rapproché, le premier ne peut-il pas être antérieur au second, bien que le bruit du second nous parvienne avant celui du premier ? » Pour mesurer la vitesse de la lumière, enfin, il faut supposer qu’elle est la même dans toutes les directions : « C’est là un postulat sans lequel aucune mesure de cette vitesse ne pourrait être tentée. »
Sa conclusion sonne très moderne : « Nous n’avons pas l’intuition directe de la simultanéité, pas plus que celle de l’égalité de deux durées. »
Ce qu’on lit aujourd’hui
Sept ans avant Einstein. En 1905, Einstein ouvre son article sur la relativité restreinte par une définition de la simultanéité. On synchronise deux horloges éloignées en échangeant des signaux lumineux, et en convenant que la lumière met le même temps à l’aller et au retour. C’est exactement le postulat que Poincaré avait identifié en 1898. Einstein en tire des conséquences que Poincaré n’a pas tirées de la même façon, mais le point de départ, dire que la simultanéité se définit et ne se constate pas, se lit déjà dans ce chapitre. Les physiciens discutent encore aujourd’hui de ce qui est conventionnel dans la vitesse de la lumière mesurée dans un seul sens.
La Terre a perdu son titre d’horloge. Depuis 1967, la seconde n’est plus une fraction du jour : elle est définie par un atome, le césium, dont un rayonnement bat 9 192 631 770 fois par seconde. Poincaré l’avait dit : de deux horloges, on garde la plus commode. Depuis 1972, on ajoute de temps en temps une « seconde intercalaire » pour que l’heure des horloges atomiques ne s’éloigne pas trop de la rotation de la Terre. En 2022, la Conférence générale des poids et mesures a décidé d’abandonner ces ajustements d’ici 2035, parce qu’ils perturbent les réseaux informatiques. L’horloge commode, aujourd’hui, c’est l’atome.
Ce que ça change, concrètement
Faire douter de l’évidence des durées. Demander à la classe comment on sait qu’une minute dure autant qu’une autre est une excellente entrée en matière pour les durées et horaires. La réponse de Poincaré, « on l’a décidé, et c’est commode », surprend et fait réfléchir sur ce qu’est une unité.
Faire calculer le retard de la Terre. Le calcul du programme tient en une ligne de quatrième : 1,75 ms par siècle, un triangle, une aire. Il montre comment un effet minuscule, accumulé longtemps, devient énorme. C’est un bon exercice sur les conversions : millisecondes, jours, siècles, heures, degrés.
Compter les secondes entre l’éclair et le tonnerre. L’exemple de Poincaré se transforme en activité : le son parcourt environ 340 mètres par seconde, donc trois secondes d’écart font à peu près un kilomètre. Et la question des deux coups de foudre, entendus dans le désordre, montre qu’entendre après ne veut pas dire arriver après.
À vous
- comment répondriez-vous à un élève qui demande comment on sait que toutes les secondes sont égales ?
- parlez-vous en classe de la définition de la seconde par l’atome de césium ?
- et la question qui fâche : si la mesure du temps est une convention, qu’y a-t-il de vrai dans une heure de cours ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. La même idée de convention commode se trouvait déjà dans l’épisode sur les géométries non euclidiennes, et l’épisode précédent ouvrait La Valeur de la science avec la courbe qui n’a de tangente nulle part. Tous les épisodes : la série complète.
« La mesure du temps », paru dans la Revue de métaphysique et de morale en 1898 et repris comme chapitre II de La Valeur de la science (Flammarion, 1905). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier : La Valeur de la science en poche chez Champs sciences ; et, du même auteur, La Science et l’Hypothèse, présentée par Étienne Ghys.