Il y a des définitions de manuel, et il y a celle-ci, qui est la première phrase du chapitre.
L’usage mathématique du mot fonction a été adopté aussi dans la vie courante. Par exemple, « son humeur est fonction de sa digestion » emploie le terme exactement dans ce sens mathématique. Cela signifie qu’on peut assigner une règle qui vous dira quelle sera son humeur dès lors que vous savez comment marche sa digestion.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Tout y est, y compris ce que nos élèves manquent : une fonction n’est pas un calcul, c’est une règle qui répond. Donnez-lui la digestion, elle rend l’humeur. Et elle répond à chaque fois, sans hésiter entre deux réponses — ce qui, on va le voir, est la seule vraie exigence.
Une seule réponse, et seulement dans un sens
Ses exemples sont d’une simplicité désarmante : un train qui roule à vingt milles à l’heure donne s = 20 \times t ; et si Jean a un an de plus que Thomas, alors y = x + 1. Puis il nomme les deux rôles : t et x sont les arguments, s et y les valeurs de la fonction. Nos antécédents et nos images, exactement.
Une fonction est une corrélation entre deux nombres variables, appelés respectivement l’argument et la valeur de la fonction, telle que quelle que soit la valeur assignée à l’argument, la valeur de la fonction est déterminée de façon définie, c’est-à-dire unique. La réciproque n’est pas nécessairement vraie : lorsque la valeur de la fonction est déterminée, l’argument ne l’est pas forcément de façon unique.
Ces deux phrases, mises côte à côte, règlent la difficulté sur laquelle butent tous les élèves de troisième devant une courbe : une image, mais possiblement plusieurs antécédents. L’asymétrie n’est pas une bizarrerie du programme, c’est la définition même. Un élève à qui l’on a dit « à chaque nombre on associe un nombre » sans jamais préciser que l’inverse ne vaut pas se retrouve démuni la première fois qu’une horizontale coupe la courbe en deux points.
Et la notation, dont il dit du mal
Vient l’écriture y = f(x), et Whitehead ne la présente pas comme une évidence mais comme un compromis. « Cette notation a ses défauts. Ainsi elle entre manifestement en conflit avec la convention selon laquelle les lettres isolées représentent des nombres variables, puisque ici F, f, g placées devant une parenthèse désignent des fonctions variables. » Et il concède qu’« il serait facile de donner des exemples où l’on ne peut se fier qu’au bon sens et au contexte pour voir ce qui est signifié ».
Autrement dit : l’élève qui lit f(x) comme un produit f \times x ne fait pas une faute d’étourderie, il applique la règle qu’on lui a enseignée deux ans plus tôt. Le coupable est la notation, et Whitehead le dit avant nous.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Il fabrique exprès une fonction qui n’est pas une courbe. Prenez la règle suivante : la fonction vaut 0 quand x est un entier, et 1 pour toute autre valeur. Ainsi f(1) = 0, f(2) = 0, mais f\left(\frac{2}{3}\right) = 1 et f(\sqrt{2}) = 1. Whitehead tranche : « ce choix donne une fonction parfaitement valable selon la définition générale ». Son graphe est une droite horizontale à hauteur 1, dont on a retiré les points d’abscisse entière, remplacés par des points posés sur l’axe. On ne demande évidemment pas ça au collège — mais un professeur qui l’a en tête présente autrement la définition, parce qu’il sait que « fonction » ne veut dire ni formule, ni courbe jolie, ni même courbe du tout : ça veut dire une règle qui répond une fois.
Et son exemple de continuité est un exercice de cycle 4. Un train quitte Euston, passe par Bletchley, arrive à Rugby ; la distance parcourue est fonction du temps, et cette fonction est continue. Pourquoi ? Parce qu’« il est impossible d’envisager que nous suivions le train continûment d’Euston à Bletchley et que, sans aucun temps intermédiaire si court soit-il, il apparaisse à Rugby ». Et la pointe : « l’idée est trop fantastique pour entrer dans nos calculs ; elle envisage des possibilités qu’on ne trouve que dans les Mille et une nuits — et même là, la discontinuité pure du mouvement entre à peine dans l’imagination : on n’ose pas taxer notre crédulité de plus qu’une vitesse très inhabituelle ». Faire tracer le graphique temps-distance d’un trajet de train avec ses arrêts, c’est de la lecture graphique ordinaire ; dire ensuite que la courbe ne peut pas sauter, et pourquoi, c’est la même heure de cours avec une idée dedans.
Ce que ça change, concrètement
Commencer par une phrase sans nombres. « Son humeur est fonction de sa digestion » se comprend sans mathématiques, fait rire, et contient toute la définition. On peut en fabriquer autant qu’on veut avec la classe avant d’ouvrir le chapitre sur les fonctions : le prix est fonction du poids, la note est fonction du nombre de fautes, l’ombre est fonction de l’heure. Puis la question qui sépare le bon grain : est-ce que ça répond à chaque fois, et une seule fois ?
Nommer l’asymétrie le jour même. Une image unique, plusieurs antécédents possibles : c’est dans la définition de Whitehead, en toutes lettres, et ça évite la surprise de la lecture graphique. Les questions flash sur les fonctions et les fonctions affines vont beaucoup mieux quand l’élève sait à l’avance que la machine ne se lit pas à l’envers.
À vous
- quelle est votre « humeur et digestion » à vous ? La phrase qui fait comprendre une fonction sans écrire un seul nombre.
- combien de vos élèves lisent f(x) comme un produit ? Whitehead dirait que c’est la faute de la notation, pas la leur.
- et la question de fond : au collège, vaut-il mieux dire « une fonction, c’est une formule » — qui est faux mais opérant — ou « une règle qui répond », qui est juste et plus flou ?
Les commentaires sont ouverts.
Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont une aire n’est pas une longueur et moins trois n’est pas un nombre. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XI, « Functions », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).