Londres, 1912. Devant la branche londonienne de la Mathematical Association, son président se lève pour son discours annuel et fait quelque chose qu’aucun professeur de mathématiques ne fait jamais en public : il explique à ses collègues ce qu’il faut retirer du programme.
Pas ajouter. Retirer. Et il commence par nommer l’ennemi, ce qui est déjà la moitié du travail.
L’ennemi n’est pas la difficulté
Le mot anglais est recondite : ésotérique, réservé aux initiés. Whitehead prend soin de préciser ce qu’il ne veut pas dire.
Par ce mot je n’entends pas la difficulté, mais le fait que les idées en jeu sont d’application hautement spéciale, et n’influencent que rarement la pensée. […] Empoignons l’ortie tout de suite et admettons franchement que, dans l’opinion générale, notre discipline en est l’exemple type.
A. N. Whitehead, discours présidentiel à la Mathematical Association, Londres, 1912
Le coup est rude, et il vient de l’intérieur. Ce qui fait le bonheur du mathématicien — la richesse sans bornes des déductions, l’enchevêtrement des théorèmes, l’éloignement croissant du point de départ — est exactement ce qui rend la matière inutilisable en éducation générale. Whitehead ne le déplore pas : il en tire une règle de tri, et il ne l’applique pas qu’aux autres. Sa cible favorite, ce sont les manuels, et « l’accumulation sans but de théorèmes qui ne doivent leur place qu’à une chose : on peut les faire apprendre aux enfants, et les examinateurs peuvent poser dessus des questions bien propres ».
Le programme tient en une phrase
Vient alors la phrase pour laquelle il faut lire ce discours. Whitehead prévient d’ailleurs, dans la même respiration, que ce n’est pas une définition des mathématiques — il en a une bien plus large — mais la liste de ce qui, d’après lui, doit entrer dans l’éducation de tous.
Pour les besoins de l’éducation, les mathématiques consistent dans les relations de nombre, les relations de grandeur, et les relations d’espace. […] Ces trois groupes de relations sont interconnectés.
Ouvrez maintenant n’importe quelle page de nos programmes, ou la colonne de gauche de n’importe laquelle de mes progressions : Nombres et calculs, Grandeurs et mesures, Espace et géométrie. Ce sont ses trois groupes, dans son ordre, sous ses noms. Écrits par un Anglais, en 1912, un an avant le troisième volume des Principia.
Et ce n’est pas une coïncidence isolée. Quand il détaille son cours de géométrie idéal, il l’organise en étages : d’abord la congruence — ce que nous appelons l’égalité de deux figures, et qu’il définit comme une correspondance point par point conservant longueurs et angles ; puis la similitude, « un élargissement de l’idée de congruence », qui trouve ses applications immédiates « dans les plans et les cartes » ; puis la trigonométrie, qui rend les théorèmes précédents utilisables. Isométries, agrandissement-réduction et Thalès, trigonométrie : c’est le cycle 4, dans l’ordre.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Sa liste de coupes est presque intégralement passée. Il voulait la peau du cercle des neuf points, du « cas ambigu », des coniques traitées comme un sujet géométrique à part, et de la débauche de formules de trigonométrie — il raconte qu’on lui a parlé d’une université américaine où l’on exigeait quatre-vingt-dix formules par cœur. Il demandait qu’on s’en tienne à « la trigonométrie d’un seul angle, en excluant les formules d’addition ». C’est mot pour mot le programme de troisième d’aujourd’hui. Il n’a pas gagné sur tout, d’ailleurs : il voulait aussi supprimer les cercles inscrits et circonscrits, qui sont toujours là — et tant mieux, ils servent chez nous à autre chose qu’à ce qu’il visait, à faire vivre les médiatrices et les bissectrices.
Mais la moitié du marché n’a pas été honorée. S’il taillait, c’était pour financer autre chose : une réflexion sur la nature même de la grandeur (il proposait de lire le livre V d’Euclide, « écarté parce qu’il traite d’idées »), les lois statistiques appliquées aux phénomènes sociaux, l’histoire des mathématiques prise « non comme un assemblage de dates et de noms d’hommes, mais comme l’exposé du courant de pensée » qui les a fait naître, et même quelques idées de calcul différentiel — « il n’y a rien de particulièrement difficile dans la conception d’un taux de variation ». La soustraction a eu lieu ; l’addition, beaucoup moins. C’est peut-être ça, la vraie leçon de ce texte : alléger un programme est la partie facile.
Le passage qui fait mal
Il y a un moment, dans ce discours, où Whitehead cesse de parler technique et pose la question que personne n’aime entendre : où finit un cours de mathématiques ? Pas « à quel chapitre », mais sur quoi il se referme, ce que l’élève emporte le dernier jour.
La fin de toutes les études de grammaire de l’élève latiniste, c’est de lire Virgile et Horace — les plus grandes pensées des plus grands hommes. Sommes-nous satisfaits, lorsque nous plaidons pour que notre science soit convenablement représentée dans l’éducation, de dire que le terme d’une formation mathématique est que l’élève connaisse les propriétés du cercle des neuf points ? Je vous le demande franchement : n’est-ce pas plutôt une dégringolade ?
Remplacez « le cercle des neuf points » par ce sur quoi se termine réellement votre année, et vous avez la question intacte, cent quatorze ans plus tard. Whitehead ne prétend pas y répondre à notre place : il dit seulement qu’une matière qui se termine sur un exercice de virtuosité au lieu d’une idée s’est fait voler quelque chose.
Ce que ça change, concrètement
Choisir l’ordre, c’est déjà choisir ce qu’on éclaire. Les quatre progressions de ce site sont construites sur ses trois relations, sans que je l’aie su en les écrivant : ce qui revient sans cesse, c’est le nombre, la grandeur, l’espace, et le reste vient s’y accrocher. Le test de Whitehead est simple, et il tient en une question à se poser devant chaque chapitre : cette idée influence-t-elle la pensée de quelqu’un, ou n’a-t-elle qu’une application hautement spéciale ?
Sa trigonométrie, nous l’avons. Un angle, trois rapports, la résolution du triangle rectangle et les applications à l’arpentage : la leçon de troisième est exactement celle qu’il réclamait en 1912. Il vaut la peine de le dire aux élèves — ce qui leur paraît maigre est le résultat d’un siècle d’élagage assumé, pas d’un oubli.
Et la similitude reste le grand palier. C’est son deuxième étage, celui où l’on passe de « ces deux figures sont les mêmes » à « ces deux figures sont les mêmes à l’échelle près » — le saut conceptuel de tout le cycle 4. Les configurations de Thalès sont l’endroit où il se joue, et le rapport d’agrandissement est l’idée qui reste, bien après que les rédactions auront été oubliées.
À vous
- quel est votre cercle des neuf points ? Le chapitre que vous traitez parce qu’il est au programme, et dont vous seriez incapable de dire ce qu’il influence.
- si l’on vous rendait trois semaines dans l’année, vous les mettriez où ? Whitehead avait sa réponse : la nature de la grandeur, la loi statistique, l’histoire de la discipline.
- et sa formule contre-intuitive, à débattre : selon lui les problèmes ne testent pas le génie, ils testent le bachotage — « seuls les garçons spécialement entraînés pour les bourses réussissent une épreuve de problèmes ». Vous en pensez quoi ?
Les commentaires sont ouverts. Sur celui-là, j’aimerais surtout lire les listes de coupes.
Dans la même série. Idées vivantes de Whitehead reprend les conférences de pédagogie d’Alfred North Whitehead (1861-1947) — un mathématicien qui parlait à des professeurs de mathématiques, entre 1912 et 1928. Tous les épisodes : la série complète, dont vos élèves ont un corps et la logique donne de l’audace.
« The Mathematical Curriculum », discours présidentiel d’Alfred North Whitehead devant la branche londonienne de la Mathematical Association, 1912, recueilli dans The Organisation of Thought (Williams & Norgate, Londres, 1917), puis dans The Aims of Education and Other Essays (1929). Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public. Le volume de 1917 se lit intégralement sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes, faites depuis cet anglais-là. Il existe une édition française du recueil de 1929, Les Visées de l’éducation et autres essais, traduite par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011) : c’est elle qu’il faut acheter pour lire Whitehead en français.