Les causeries de Poincaré : pourquoi la roulette est honnête

Le mathématicien Joseph Bertrand ouvrait son Calcul des probabilités par une question qui semble fermer la discussion : « Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n’est-il pas l’antithèse de toute loi ? » Poincaré la reprend en 1907 dans un article de La Revue du mois, « Le hasard », qui devient l’année suivante le dernier chapitre du livre premier de Science et méthode. On en cite surtout une phrase, et presque toujours à contresens.

Le hasard n’est pas notre ignorance

Poincaré commence par la réponse du déterministe. Un esprit qui connaîtrait toutes les lois de la nature et l’état exact du monde prévoirait tout, et « on ne pourrait jouer avec lui à aucun jeu de hasard, on perdrait toujours ». Pour nous qui ne savons pas tout, le hasard ne serait donc qu’un nom : « Le hasard n’est que la mesure de notre ignorance. »

C’est cette phrase qu’on lui attribue partout. Or elle résume la thèse qu’il examine, pas la sienne, et le paragraphe suivant commence par « Mais cette définition est-elle bien satisfaisante ? » Car si le hasard n’était que de l’ignorance, on ne pourrait rien en tirer. Or le calcul des probabilités prédit, et il prédit juste. Poincaré le montre avec ce petit discours qu’il prête au savant :

« Vous me demandez de vous prédire les phénomènes qui vont se produire. Si, par malheur, je connaissais les lois de ces phénomènes, je ne pourrais y arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre ; mais, comme j’ai la chance de les ignorer, je vais vous répondre tout de suite. Et, ce qu’il y a de plus extraordinaire, c’est que ma réponse sera juste. »

Henri Poincaré, « Le hasard », 1907

Et il ajoute un argument décisif. Le directeur d’une compagnie d’assurances ignore quand mourra chacun de ses clients, mais il verse des dividendes à ses actionnaires grâce à la loi des grands nombres. Si un médecin « très perspicace et très indiscret » venait lui révéler l’état de santé de chaque assuré, il dissiperait son ignorance, mais les dividendes ne changeraient pas. Ils ne viennent donc pas de l’ignorance. Il faut chercher ailleurs ce qu’est le hasard.

Petites causes, grands effets

Pour trouver une meilleure définition, il examine des phénomènes que tout le monde juge fortuits et cherche ce qu’ils ont en commun. Un cône posé sur sa pointe va tomber, mais de quel côté ? Un souffle d’air suffit à en décider. D’où la définition, celle que reprend notre page Autour du hasard :

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard.

Le deuxième exemple est la météo. Pourquoi prévoit-on les éclipses à la minute près, mais pas la pluie de la semaine prochaine ? Parce que l’atmosphère est instable. Il suffit d’« un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque » pour que le cyclone « éclate ici et non pas là ». Poincaré note au passage que bien des gens « trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ». Un demi-siècle plus tard, le météorologue Edward Lorenz tirera de la même idée l’image célèbre du battement d’ailes de papillon.

Le troisième exemple contient un calcul qu’on peut refaire. Les petites planètes tournent autour du Soleil à des vitesses presque égales. Un écart d’un millième de seconde d’arc par jour, dit Poincaré, « donnera en effet une seconde en trois ans, un degré en dix mille ans, une circonférence entière en trois ou quatre millions d’années ». Vérifions : un millième de seconde par jour fait 0,365 seconde par an, donc une seconde en 2,7 ans, un degré (3 600 secondes) en 9 856 ans et un tour complet (1 296 000 secondes) en 3,5 millions d’années. Les trois chiffres sont justes. Un écart imperceptible a eu tout le temps de disperser les planètes sur l’ensemble du ciel.

La roulette, ou pourquoi la manière de lancer ne compte pas

Vient enfin l’exemple qui donne la clé. Poincaré imagine une aiguille qui tourne sur un cadran de 100 secteurs, alternativement rouges et noirs :

L’aiguille fera, je suppose, 10 ou 20 fois le tour, mais elle s’arrêtera plus ou moins vite, suivant que j’aurai poussé plus ou moins fort. Seulement il suffit que l’impulsion varie d’un millième, ou d’un deux millième, pour que mon aiguille s’arrête à un secteur qui est noir, ou au secteur suivant qui est rouge. Ce sont là des différences que le sens musculaire ne peut apprécier et qui échapperaient même à des instruments plus délicats. Il m’est donc impossible de prévoir ce que va faire l’aiguille que je viens de lancer, et c’est pourquoi mon cœur bat et que j’attends tout du hasard.

Mais pourquoi le rouge sortirait-il une fois sur deux ? Personne ne lance l’aiguille de façon parfaitement régulière. Chacun a sa manière, pousse plutôt fort ou plutôt doucement, et cette manière nous est inconnue. Poincaré suppose seulement qu’elle varie de façon continue : la probabilité de pousser entre a et a + \varepsilon est à peu près la même que celle de pousser entre a + \varepsilon et a + 2\varepsilon. Or ces deux petits intervalles envoient l’aiguille l’un sur un secteur rouge, l’autre sur le noir voisin. Chaque secteur rouge a donc à peu près la même probabilité que le noir qui le suit, et le rouge sort une fois sur deux, quelle que soit la manière de lancer. Sa conclusion : « il en résulte que finalement nous n’avons plus aucun besoin de la donnée ».

C’est ce qu’on appelle aujourd’hui la méthode des fonctions arbitraires. Le programme la met à l’épreuve avec quatre lanceurs. Le premier est parfaitement régulier. Le deuxième pousse de préférence très fort. Le troisième hésite entre deux habitudes. Le dernier est une machine réglée au dix-millième, qui échappe à l’hypothèse de Poincaré parce que sa façon de lancer ne s’étale pas sur plusieurs secteurs. Le programme simule ensuite le battage d’un paquet de trois cartes, l’autre exemple du chapitre, sur lequel on reviendra plus bas.

from math import exp, pi, sqrt, floor
from itertools import permutations

# 1. La roulette de Poincaré : une aiguille, 100 secteurs alternativement rouges et noirs.
#    L'impulsion décide du nombre de tours ; seule compte la partie après la virgule.
def proba_rouge(densite, a, b, secteurs=100, pas=2_000_000):
    """Intègre la densité de l'impulsion sur les impulsions qui finissent sur du rouge."""
    h = (b - a) / pas
    rouge = total = 0.0
    for k in range(pas):
        v = a + (k + 0.5) * h
        w = densite(v) * h
        total += w
        if floor((v % 1) * secteurs) % 2 == 0:
            rouge += w
    return rouge / total

def normale(m, s):
    return lambda v: exp(-((v - m) / s) ** 2 / 2)

lanceurs = {
    "régulier, de 10 à 20 tours":      (lambda v: 1.0, 10, 20),
    "pousse plutôt fort":              (lambda v: (v - 10) ** 3, 10, 20),
    "hésitant, deux habitudes":        (lambda v: normale(12, 0.8)(v) + 2 * normale(17, 1.5)(v), 8, 22),
    "machine réglée au dix-millième":  (normale(15.003, 0.002), 14.98, 15.02),
}
for nom, (f, a, b) in lanceurs.items():
    print(f"{nom:32} rouge : {proba_rouge(f, a, b):.4f}")

# 2. Les trois cartes : un joueur aux habitudes quelconques, toujours les mêmes.
ordres = ["123", "231", "312", "321", "132", "213"]
def appliquer(ordre, battement):
    return "".join(ordre[int(i) - 1] for i in battement)

def apres(n, habitudes):
    loi = {o: 0.0 for o in ordres}
    loi["123"] = 1.0
    for _ in range(n):
        nouvelle = {o: 0.0 for o in ordres}
        for o, p in loi.items():
            for battement, q in habitudes.items():
                nouvelle[appliquer(o, battement)] += p * q
        loi = nouvelle
    return loi

joueur = dict(zip(ordres, [0.50, 0.25, 0.10, 0.08, 0.05, 0.02]))   # p1 … p6, choisis au hasard
for n in (1, 5, 10, 20, 40):
    loi = apres(n, joueur)
    print(n, "battements, écart maximal à 1/6 :", f"{max(abs(p - 1/6) for p in loi.values()):.6f}")

coupeur = {"123": 0.2, "231": 0.5, "312": 0.3}   # il ne fait que couper le paquet
print("le coupeur, après 1000 battements :", {o: round(p, 3) for o, p in apres(1000, coupeur).items()})

Pour la roulette, les résultats donnent raison à Poincaré. Le lanceur régulier et le lanceur hésitant obtiennent le rouge avec une probabilité de 0,5000, et celui qui pousse fort 0,4990, ce qui fait bien « sensiblement » un demi. La machine, elle, tombe sur le rouge 93 fois sur 100. Le hasard de la roulette ne vient donc ni de l’aiguille ni du cadran. Il vient de ce que la main humaine est trop imprécise, à l’échelle d’un secteur, pour viser.

Battre les cartes, et le joueur qui ne fait que couper

Le second mécanisme du hasard n’est plus la petitesse des causes mais leur complexité. Poincaré prend un paquet de trois cartes, rangées 123, et un joueur qui les bat toujours de la même façon. À chaque battement, les six ordres possibles sortent avec des probabilités p_1, \dots, p_6 qui dépendent des habitudes du joueur et que nous ne connaissons pas. Après un grand nombre de battements, affirme-t-il, chacun des six ordres a une probabilité voisine de \frac{1}{6}, quelles que soient ces habitudes : « Le grand nombre des battements, c’est-à-dire la complexité des causes, a produit l’uniformité. »

La seconde partie du programme le vérifie avec un joueur aux habitudes très déséquilibrées : il laisse le paquet dans l’ordre une fois sur deux. L’écart maximal avec \frac{1}{6} tombe à 0,03 après 5 battements, à 0,005 après 10, et devient invisible après 40. Le programme essaie ensuite un autre joueur, qui ne fait que couper le paquet. Même après 1 000 battements, trois des six ordres, 321, 132 et 213, ne sortent jamais. Couper fait tourner les cartes sans jamais changer leur ordre circulaire : 1 reste suivi de 2, qui reste suivi de 3.

Poincaré n’est pas pris en défaut, car il a prévu le cas. Quelques lignes plus loin, il écarte les situations où les conditions sont « trop simples », et il les définit parfaitement : « ce sont celles qui conservent quelque chose, qui laissent subsister un invariant ». L’ordre circulaire du coupeur est un invariant de ce genre. C’est la condition qu’on vérifie encore aujourd’hui avant d’affirmer qu’un mélange, de cartes, de poudres ou de molécules, finit par tout uniformiser.

Il reste le vrai paquet de 52 cartes. En 1992, les mathématiciens Dave Bayer et Persi Diaconis ont montré qu’il faut environ sept battements « à l’américaine », où l’on entrelace les deux moitiés du paquet, pour qu’il soit bien mélangé. En dessous, l’ordre de départ se devine encore. Ce résultat descend directement de la page de Poincaré.

Ce que ça change, concrètement

Répondre à « c’est du hasard, donc on ne peut rien dire ». C’est l’objection de Bertrand, et chaque classe la retrouve au début du chapitre de probabilités. La réponse de Poincaré se transmet sans formule : le hasard n’interdit pas de prévoir, il permet de prévoir la fréquence sans connaître le détail. Les cours de sixième et de quatrième peuvent s’ouvrir sur la roulette de Poincaré plutôt que sur le dé.

Expliquer pourquoi le dé est équitable. On dit « chaque face a une chance sur six » comme si c’était évident. Poincaré dit pourquoi : le lancer est trop sensible pour être contrôlé, et le dé roule assez longtemps pour que la manière de lancer ne compte plus. Faites lâcher un dé à un centimètre au-dessus de la table, le 6 en haut : il retombe presque toujours sur le 6. L’équiprobabilité disparaît, et la classe comprend ce qu’elle supposait sans le savoir.

Chercher l’invariant. Le joueur qui ne fait que couper est un bon exercice de troisième. Que conserve ce battement ? Que ne conserve-t-il pas ? Pour aller plus loin dans ce qu’en ont dit les philosophes, de Laplace à Kolmogorov, il y a la page Autour du hasard de l’option Maths-Philo.

À vous

• comment expliquez-vous à vos élèves que le dé est équitable ? Par la symétrie du dé, ou par la manière dont on le lance ?
• avez-vous déjà vu la phrase sur « la mesure de notre ignorance » attribuée à Poincaré, dans un manuel ou un sujet d’examen ?
• et la question qui fâche : un phénomène entièrement déterminé mais imprévisible, est-ce encore du hasard ? Poincaré dit oui. Et vous ?

Les commentaires sont ouverts.

Dans la même série. Les causeries de Poincaré parcourent les quatre livres qu’Henri Poincaré a écrits pour le grand public. Les épisodes précédents : l’idée qui monta dans l’omnibus, sur l’invention mathématique, et un cercle, c’est un rond, sur les définitions et l’enseignement. Tous les épisodes : la série complète.

« Le hasard », paru dans La Revue du mois en mars 1907 et repris au chapitre IV du livre premier de Science et méthode (Flammarion, 1908). Poincaré est mort en 1912 : le texte est dans le domaine public, et se lit en entier sur Wikisource. Les citations sont reproduites telles quelles, vérifiées sur le fac-similé de l’édition Flammarion. Pour le lire sur papier : Science et méthode aux Éditions Ducourt ; et, pour commencer Poincaré en poche, La Science et l’Hypothèse chez Champs, présentée par Étienne Ghys.