Pour les Grecs, le sinus n’était pas un nombre. C’était un trait.
Les mathématiciens grecs appelaient la ligne PM le sinus de l’arc AP, et la ligne OM le cosinus de l’arc AP.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
Une longueur, tracée dans une figure, avec un nom. Pas un rapport, pas une fonction : un segment. Et Whitehead ajoute la remarque qui explique ce qui s’est passé ensuite : « ils savaient parfaitement que l’importance des relations entre ces diverses lignes dépendait de la théorie de la similitude. Mais ils n’ont pas fait en sorte que leurs définitions expriment les propriétés qui découlent de cette théorie. » Ils savaient, et ils ne l’ont pas écrit dans la définition.
Du segment au nombre
C’est exactement ce que fait la définition moderne, et Whitehead le dit d’une formule que j’aime beaucoup : « pour nous, le cas est différent : nous voulons incorporer nos idées plus puissantes ». Au lieu de la ligne PM, on considère le rapport \frac{PM}{OP} ; au lieu de OM, le rapport \frac{OM}{OP}. Et la raison tient en cinq mots : ce sont « des nombres qui ne dépendent pas de la longueur de OP, c’est-à-dire pas de l’échelle de nos figures ».
Voilà pourquoi on divise. Ce n’est pas une manie d’écriture : diviser par l’hypoténuse est ce qui efface la taille du triangle, et c’est la seule raison pour laquelle une table de sinus peut exister. Un élève de troisième à qui l’on fait constater que le rapport ne bouge pas quand on agrandit la figure a compris la trigonométrie ; celui à qui on ne l’a pas fait constater apprend trois fractions par cœur.
Troisième étage : puisque le rapport est déterminé dès que l’angle l’est, « ce sont des fonctions de l’argument ». Et la notation n’a rien de mystérieux — Whitehead la présente comme un simple habillage : « nous écrivons “sin” à la place de “f” lorsque nous voulons indiquer la fonction sinus », les parenthèses de f(x) étant simplement omises. Le sinus a donc changé trois fois de nature : segment chez les Grecs, rapport après la similitude, fonction depuis qu’on sait ce qu’est une fonction.
Ce qu’on lit aujourd’hui
Il glisse une phrase sur π, et l’histoire lui a donné raison d’une façon qu’il n’imaginait pas. Après avoir rappelé que π est incommensurable, Whitehead note : « sa valeur a effectivement été donnée jusqu’à 707 décimales. Une telle élaboration de calcul n’est qu’une curiosité, sans aucun intérêt pratique ni théorique. » Ces 707 décimales sont celles de William Shanks, publiées en 1873 après des années de calcul à la main. Or elles sont fausses à partir de la 528e : D. F. Ferguson a trouvé l’erreur en 1944, deux termes omis. Shanks est mort en 1882 sans le savoir, et Whitehead cite en 1911 un record déjà faux depuis trente-huit ans — que personne ne corrigera avant trente-trois ans de plus. L’anecdote est belle à raconter en classe, et elle donne à sa phrase une ironie supplémentaire : le calcul était non seulement sans intérêt, mais faux, et ça n’a rien changé à rien.
Et sa réponse à la quadrature du cercle, pour les élèves qui demandent. Le problème a deux parties, dit-il : déterminer exactement π, et construire par la géométrie pure un segment égal à la circonférence. « Les deux parties sont désormais connues pour être impossibles ; et le problème insoluble a maintenant perdu tout intérêt particulier, pratique ou théorique, ayant été absorbé dans des idées plus larges. » C’est la bonne manière de clore la question : non pas « on n’y arrive pas », mais « on a compris pourquoi, et la question a été remplacée par de meilleures ».
Pourquoi le collège s’arrête à l’angle aigu
Whitehead prévient lui-même : « il est évident que, sans quelques définitions supplémentaires, nous allons au-devant de difficultés lorsque le nombre u est pris trop grand ». Si l’arc dépasse le quart du cercle, le point M passe de l’autre côté, P descend sous l’axe, et les longueurs qu’on divisait ne veulent plus rien dire. Il faut alors passer aux coordonnées et accepter des nombres négatifs par quadrant.
Ce détour explique proprement une limite de notre programme : si le cosinus de troisième vit dans un triangle rectangle, c’est parce que la définition par les rapports de longueurs ne survit pas au-delà de l’angle droit. Ce n’est pas une timidité pédagogique, c’est une contrainte de la définition — et le dire vaut mieux que de laisser croire qu’on cache quelque chose.
Ce que ça change, concrètement
Faire vérifier que le rapport ne bouge pas. Avant toute formule : trois triangles rectangles semblables de tailles très différentes, chacun mesuré, chacun divisé. Les trois quotients tombent sur le même nombre. C’est la seule justification de la définition du cosinus, et elle prend un quart d’heure une fois dans une scolarité.
Et raconter π autrement. Le nombre qui revient dans les calculs de périmètres et d’aires est le même que celui dont on a cherché les décimales pendant des siècles, qu’on a mal calculées, et dont on a fini par démontrer qu’il ne serait jamais une fraction. Dix décimales suffisent à mesurer la Terre ; sept cent sept sont une curiosité — et elles étaient fausses.
À vous
- faites-vous constater l’invariance du rapport, ou la donnez-vous ? C’est la différence entre comprendre la trigonométrie et l’apprendre.
- « segment, puis rapport, puis fonction » : combien de nos notions ont, comme le sinus, changé plusieurs fois de nature sans changer de nom ?
- et l’histoire de Shanks : la racontez-vous comme un échec, ou comme la preuve que le résultat n’avait aucune importance ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont on mesure les angles, pas les longueurs et son humeur est fonction de sa digestion. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XIII, « Trigonometry », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library) — seconde moitié du chapitre, dont la première a fourni l’épisode sur l’arpentage. Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).