Le dernier chapitre du livre est aussi le plus court : mille cent mots pour dire ce que veut dire mesurer. Il commence par une distinction que nos élèves piétinent toute l’année.
Lorsque nous avons un ensemble de choses, telles que des longueurs, mesurables au moyen de n’importe laquelle d’entre elles, nous disons que ce sont des grandeurs de même espèce. Ainsi les longueurs sont des grandeurs de même espèce, les aires aussi, les volumes aussi. Mais une aire n’est pas une grandeur de même espèce qu’une longueur, ni de même espèce qu’un volume.
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics, 1911
C’est la phrase qui manque au moment où un élève additionne un périmètre et une aire, ou compare deux boîtes en confondant surface et contenance. Non pas « attention, ce n’est pas la même unité », mais : ces deux choses ne sont pas comparables, parce qu’on ne peut pas se servir de l’une pour mesurer l’autre. Ce qui définit une espèce de grandeur, c’est précisément qu’un de ses membres peut servir d’étalon à tous les autres.
Mesurer demande deux choses, et deux seulement
Whitehead démonte ensuite l’opération, avec le pied-de-roi pour exemple. On transporte la règle d’un endroit à l’autre pour juger que deux longueurs sont égales ; on met trois longueurs d’un pied bout à bout, sans chevauchement, pour en faire une longueur de trois pieds. Voilà tout : « pour mesurer des longueurs, nous devons déterminer l’égalité des longueurs et l’addition des longueurs ».
Mais on n’a pas le droit de choisir n’importe quoi comme test d’égalité ni n’importe quel procédé comme addition : les résultats « doivent s’accorder avec certaines conditions préconçues. Par exemple, l’addition de deux longueurs plus grandes doit donner une longueur plus grande que celle obtenue en additionnant deux longueurs plus petites. » Ces conditions, une fois écrites proprement, il les appelle les axiomes de la grandeur — et il ajoute, en passant, une remarque très fine sur ce qu’on peut en attendre : la seule question qui se pose à leur sujet est de savoir si, lorsqu’ils sont satisfaits, on obtient bien ce que les gens ordinaires appellent des grandeurs. « Si ce n’est pas le cas, alors le nom d’“axiomes de la grandeur” est mal choisi — c’est tout. »
À quoi ça sert : découper le continu
Vient alors la phrase qui donne son sens à tout le domaine « grandeurs et mesures », et je ne l’avais jamais vue formulée aussi nettement.
Les idées associées à la notion de grandeur sont le moyen par lequel un continu — une ligne, une aire, un volume — peut être découpé en parties définies. Ces parties sont ensuite comptées ; de sorte que les nombres peuvent servir à déterminer les propriétés exactes d’un tout continu.
Mesurer, c’est donc rendre comptable ce qui ne l’était pas. Le nombre ne sait compter que des choses séparées ; la grandeur est ce qui permet de fabriquer des choses séparées à partir d’un tout qui n’en a pas. C’est la réponse à la question qu’aucun élève ne pose mais que beaucoup portent : pourquoi faut-il une unité ? Parce que sans elle, il n’y a rien à compter.
Ce qu’on lit aujourd’hui
L’étalon n’est pas fixe : on le corrige pour que les lois restent simples. Whitehead prend le cas de la rotation de la Terre, qui ralentit. Pourquoi les astronomes l’affirment-ils ? « Leur seule raison est que, sans cela, ils devraient abandonner les lois newtoniennes du mouvement. Pour garder les lois du mouvement simples, ils modifient la mesure du temps. C’est un procédé parfaitement légitime, tant qu’il est parfaitement compris. » Et il montre que le mètre-étalon subit le même traitement : on le suppose se dilater et se contracter avec la température selon la matière dont il est fait — non parce qu’on l’a vu, mais pour que les lois s’énoncent simplement. L’instrument est ajusté à la théorie autant que la théorie à l’instrument, et le dire n’est pas du relativisme : c’est décrire le métier.
Les deux exigences d’une bonne règle de mesure, qui font une excellente grille de lecture pour n’importe quel instrument. La première : « l’accord général avec le sens commun » — une règle qui donnerait des journées de longueurs violemment différentes ne conviendrait pas. Mais le sens commun « est un observateur grossier et très facile à satisfaire », donc il ne suffit pas à fixer la règle. D’où la seconde : que les ajustements minuscules soient faits de façon à permettre l’énoncé le plus simple possible des lois de la nature. Les deux ensemble, et dans cet ordre.
Ce que ça change, concrètement
Dire l’espèce avant l’unité. La confusion entre périmètre et aire est la plus tenace du cycle 3, et on la traite d’ordinaire par les unités — mètres contre mètres carrés. La formulation de Whitehead prend le problème un cran plus haut : ce ne sont pas deux mesures différentes de la même chose, ce sont deux espèces de grandeurs, et aucune longueur ne mesurera jamais une aire. Un élève qui a entendu ça une fois n’additionne plus les deux.
Et faire fabriquer l’unité, une fois. Mesurer une aire en pavant avec un carré choisi arbitrairement, mesurer un volume en remplissant avec un cube, c’est exactement « découper le continu en parties définies, puis les compter ». Les chapitres sur les solides et les volumes et les exercices de grandeurs reposent tous là-dessus, et la manipulation qui le montre prend dix minutes en début d’année — après quoi les conversions cessent d’être une loterie de zéros.
À vous
- dites-vous « grandeurs de même espèce », ou seulement « ce n’est pas la même unité » ? Les deux phrases ne font pas le même travail.
- vos élèves ont-ils déjà mesuré une aire sans formule, en pavant ? C’est la seule façon de voir ce que « mesurer » veut dire.
- et la question à garder pour la fin de l’année : si l’on corrige l’étalon pour que les lois restent simples, qui décide, et au nom de quoi ?
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Dans la même série. Whitehead au tableau reprend An Introduction to Mathematics (1911), le petit livre où Alfred North Whitehead explique les mathématiques à tout le monde. Tous les épisodes : la série complète, dont moins trois n’est pas un nombre et le trou dans les fractions. Son pendant pédagogique, tiré de ses conférences aux professeurs, est Idées vivantes de Whitehead.
Chapitre XVII, « Quantity », d’An Introduction to Mathematics d’Alfred North Whitehead (Williams & Norgate, Londres, 1911, collection Home University Library) — c’est le dernier chapitre du livre, et le plus court. Whitehead est mort en 1947 : le texte est dans le domaine public, et le livre entier se lit sur Project Gutenberg ; les traductions ci-dessus sont les miennes. Je ne connais pas d’édition française de ce titre — pour lire Whitehead en français, c’est du côté de ses essais sur l’éducation qu’il faut aller : Les Visées de l’éducation et autres essais, traduites par Jean-Pascal Alcantara, Vincent Berne et Jean-Marie Breuvart (Chromatika, 2011).